Задача 27993. Показательные уравнения и неравенства

1. Записываем закон. Для адиабатического процесса $pV^{1,4}=\text{const}$, значит начальные и конечные значения связаны: $$p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}.$$

2. Подставляем данные. $p_1=1$ атм, $V_1=1,6$ л, максимальное допустимое давление $p_2=128$ атм (при большем давлении поршень не выдержит, а чем меньше объём, тем больше давление — поэтому минимальный объём достигается именно при $p_2=128$): $$1\cdot 1,6^{1,4}=128\cdot V_2^{1,4}.$$

3. Решаем показательное уравнение. $$V_2^{1,4}=\frac{1,6^{1,4}}{128},\qquad \left(\frac{V_2}{1,6}\right)^{1,4}=\frac{1}{128}=2^{-7}.$$ Возводим обе части в степень $\frac{1}{1,4}$: $$\frac{V_2}{1,6}=2^{-7/1,4}=2^{-5}=\frac{1}{32}.$$

4. Находим объём. $$V_2=\frac{1,6}{32}=0,05\ \text{л}.$$