Задание 9 ЕГЭ: линейные уравнения и неравенства в прикладных задачах

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с готовой формулой, которая описывает реальный процесс: движение, температуру, финансы, физику, производство. В этой подтеме формула, связывающая величины, — линейная относительно неизвестной. Это значит, что неизвестная входит в выражение только в первой степени, без квадратов, корней, знаменателей с переменной и прочих усложнений.

Задача обычно звучит так: дана формула вида $y = kx + b$ (или её более сложный, но по сути линейный аналог), даны конкретные числовые значения параметров, и требуется найти неизвестную величину $x$ при заданном значении $y$, либо найти диапазон значений $x$, при котором $y$ удовлетворяет какому-то условию (не меньше, не больше, положительно и т.п.). Первый случай сводится к линейному уравнению, второй — к линейному неравенству.

Главная трудность этой подтемы не в математике — сама техника решения линейного уравнения элементарна, — а в переводе текста на язык алгебры: правильно подставить числа в формулу, не запутаться в единицах измерения и грамотно интерпретировать ответ в контексте задачи.

Что нужно знать

1. Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид $$ax + b = 0, \quad a \ne 0,$$ и имеет единственное решение $x = -\dfrac{b}{a}$.

2. Линейное неравенство — неравенство вида $$ax + b > 0 \ (\text{или} <, \ge, \le),$$ решается так же, как уравнение, с одной оговоркой: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

3. Правила работы с уравнением:

• переносить слагаемые из одной части в другую можно, меняя знак;
• обе части можно умножать/делить на одно и то же число, не равное нулю;
• при делении на отрицательное число в неравенстве знак меняется, в уравнении — нет.

4. Работа со степенями и стандартным видом чисел. В прикладных формулах часто встречаются коэффициенты вида $a \times 10^{n}$ (например, $\alpha = 1{,}2 \times 10^{-5}$). Нужно уверенно умножать и делить такие числа, не теряя порядок величины.

5. Перевод единиц измерения. Один из самых частых источников ошибок — рассогласование единиц: миллиметры и метры, рубли и тысячи рублей, минуты и часы. Перед составлением уравнения все величины нужно привести к одной системе единиц.

6. Смысл переменных в контексте задачи. Нужно понимать, какая буква что обозначает (цена, себестоимость, температура, время, расход), и уметь подставлять в формулу именно те числа, которые даны, не путая местами постоянные и переменные величины.

7. Проверка правдоподобности ответа. Так как задача прикладная, ответ должен иметь физический или экономический смысл: температура не должна быть отрицательной там, где это не оговорено, объём продукции — целым положительным числом, время — положительным.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задания 9 на линейные уравнения и неравенства состоит из пяти шагов.

Шаг 1. Прочитать формулу и выписать все данные. Выпишите формулу, которая связывает величины, и отдельно — все числовые параметры, которые даны в условии, с указанием единиц измерения. Определите, какая буква является неизвестной, а какие — известными числами.

Шаг 2. Перевести условие вопроса в равенство или неравенство. Если спрашивают «при каком значении величина достигнет...», «чему равно...», «когда наступит равенство...» — это уравнение: приравниваем формулу к заданному числу. Если спрашивают «при каких значениях величина не меньше/не больше/положительна» — это неравенство того же типа.

Шаг 3. Подставить числа и привести уравнение (неравенство) к линейному виду. Раскрыть скобки, привести к виду $ax+b=c$ или $ax+b \gtrless c$, при необходимости — унифицировать единицы измерения до подстановки.

Шаг 4. Решить линейное уравнение или неравенство. Перенести все члены с неизвестной в одну сторону, свободные члены — в другую, разделить на коэффициент при неизвестной. Если делите неравенство на отрицательное число — поменять знак неравенства.

Шаг 5. Проверить ответ на соответствие смыслу задачи и единицам измерения. Убедиться, что число разумно (не отрицательная длина, не дробное количество единиц продукции, если по смыслу нужно целое, и т.д.), и что ответ дан в тех единицах, которые требует вопрос.

Этот алгоритм работает для абсолютно всех задач такого типа — физических, экономических, геометрических с линейной зависимостью. Разница только в том, что стоит за буквами формулы.

Разбор примера

Пример 1. Тепловое расширение рельса

Условие. При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 10$ м. При возрастании температуры длина рельса меняется по закону $$l(t^\circ) = l_0\left(1 + \alpha \cdot t^\circ\right),$$ где $\alpha = 1{,}2 \times 10^{-5} \ (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура в градусах Цельсия. При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ дать в градусах Цельсия.

Шаг 1. Данные. $l_0 = 10$ м, $\alpha = 1{,}2 \times 10^{-5}$, формула $l(t) = l_0(1+\alpha t)$. Удлинение — это разность $l(t) - l_0$, оно должно равняться 3 мм.

Шаг 2. Перевод единиц. Формула даёт длину в метрах, а удлинение задано в миллиметрах. Переведём 3 мм в метры: $$3 \text{ мм} = 0{,}003 \text{ м}.$$

Шаг 3. Составление уравнения. Удлинение равно $$\Delta l = l(t) - l_0 = l_0(1+\alpha t) - l_0 = l_0 \alpha t.$$ Требуем, чтобы это удлинение равнялось $0{,}003$ м: $$l_0 \alpha t = 0{,}003.$$ Подставим числа: $$10 \cdot 1{,}2\times10^{-5} \cdot t = 0{,}003.$$

Шаг 4. Решение линейного уравнения. Вычислим коэффициент при $t$: $$10 \cdot 1{,}2\times10^{-5} = 1{,}2\times10^{-4}.$$ Уравнение приобретает вид $$1{,}2\times10^{-4}\cdot t = 3\times10^{-3}.$$ Отсюда $$t = \frac{3\times10^{-3}}{1{,}2\times10^{-4}} = \frac{3}{1{,}2}\times10^{-3+4} = 2{,}5 \times 10^{1} = 25.$$

Шаг 5. Проверка. При $t = 25^\circ C$: $\Delta l = 10 \cdot 1{,}2\times10^{-5}\cdot 25 = 10 \cdot 3\times10^{-4} = 3\times10^{-3}$ м $= 3$ мм — совпадает с условием. Ответ разумен: положительная температура, реалистичное значение.

Ответ: 25.

Пример 2. Операционная прибыль предприятия

Условие. Цена единицы продукции $p = 500$ руб., переменные затраты на единицу $v = 300$ руб., постоянные расходы $f = 700\,000$ руб. в месяц. Операционная прибыль вычисляется по формуле $$\Pi(q) = q(p - v) - f.$$ Найти объём производства $q$, при котором $\Pi(q) = 300\,000$ руб.

Шаг 1. Данные. $p=500$, $v=300$, $f=700\,000$, требуемая прибыль $\Pi = 300\,000$. Неизвестная — $q$, входит в формулу линейно (в первой степени).

Шаг 2. Составление уравнения. Подставим все данные в формулу и приравняем к требуемому значению прибыли: $$q(500-300) - 700\,000 = 300\,000.$$

Шаг 3. Приведение к линейному виду. Вычислим разность в скобках: $$500-300=200.$$ Получаем $$200q - 700\,000 = 300\,000.$$

Шаг 4. Решение уравнения. Переносим свободный член в правую часть: $$200q = 300\,000 + 700\,000 = 1\,000\,000.$$ Делим обе части на 200: $$q = \frac{1\,000\,000}{200} = 5000.$$

Шаг 5. Проверка. $$\Pi(5000) = 5000\cdot200 - 700\,000 = 1\,000\,000 - 700\,000 = 300\,000.$$ Всё сходится. Значение $q=5000$ — целое положительное число, что логично для объёма производства.

Ответ: 5000.

Типичные ошибки

Ошибка в единицах измерения. Самая частая проблема: в формуле длина дана в метрах, а требуемое изменение — в миллиметрах (как в примере 1). Если не перевести миллиметры в метры (или, наоборот, не перевести ответ в требуемые единицы), получится ответ, отличающийся на порядки — например, $t=25000$ вместо $t=25$.

Путаница знаков при переносе слагаемых. При переносе постоянного расхода $f$ через знак равенства часто забывают, что он входит в формулу со знаком минус, и либо складывают, либо вычитают его неправильно, получая результат с ошибкой в удвоенном значении постоянных затрат.

Неверное раскрытие скобок с коэффициентом. В формуле теплового расширения $l_0(1+\alpha t)$ иногда забывают раскрыть скобку полностью и умножают $\alpha t$ только на часть $l_0$, теряя множитель.

Ошибки при работе со степенями десяти. Умножение и деление чисел вида $a\times10^n$ на $b\times 10^m$ часто выполняется невнимательно: путают знаки показателей степени или забывают привести мантиссу к диапазону $1 \le a < 10$ после умножения.

Деление неравенства на отрицательное число без смены знака. Если в задаче требуется решить неравенство и коэффициент при переменной отрицателен, забывчивость по поводу смены знака неравенства при делении даёт неверный интервал значений (например, вместо $x \le 5$ получают $x \ge 5$).

Игнорирование смысла величины при формулировке ответа. Иногда после верных вычислений забывают, что задача просит указать величину в конкретных единицах (например, в градусах, а не в долях), или не учитывают, что объём продукции должен быть целым числом, если это принципиально для контекста.

Подстановка значения не в ту переменную. При большом количестве параметров с похожими названиями (например, $p$ и $v$ — цена и себестоимость) легко перепутать их местами, особенно если в задаче используются буквы, отличающиеся от привычных.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как подставлять числа, обязательно перепишите формулу отдельно и подпишите рядом с каждой буквой, что она обозначает и в каких единицах дана — это займёт 10–15 секунд, но исключит большинство ошибок с перепутанными величинами.

Сразу проверяйте согласованность единиц измерения: если в вопросе фигурирует другая единица (миллиметры, тысячи рублей, минуты), сначала переведите её в единицы формулы, а не наоборот — так меньше риска ошибиться при финальном ответе.

После получения численного ответа сделайте обратную подстановку в исходную формулу — эта проверка занимает меньше минуты, но полностью гарантирует правильность решения линейного уравнения.

Если задание сформулировано как неравенство («при каких значениях величина не меньше…», «когда прибыль превысит…»), решайте его так же, как уравнение, но внимательно следите за знаком при делении на коэффициент — если он отрицательный, знак неравенства меняется на противоположный.

Обращайте внимание на то, каким числом должен быть ответ по смыслу задачи: если речь о количестве единиц продукции или людей — ответ должен быть целым, и если получилось нецелое число, стоит перепроверить вычисления или единицы измерения, а не округлять произвольно.

Не усложняйте задачу искусственно: несмотря на пугающий вид формулы с несколькими параметрами и степенями десяти, после подстановки числовых значений всегда остаётся простое линейное уравнение или неравенство относительно одной переменной — держите в голове этот факт, чтобы не терять уверенность при виде длинной формулы.