ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Линейные уравнения и неравенства

Задача 27953. Линейные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Линейные уравнения и неравенства2.1.12.7* Разные задачи с прикладным содержанием

При температуре 0 градусов C рельс имеет длину l_0 =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка = l_0 левая круглая скобка 1 плюс альфа умножить на t градусов правая круглая скобка , где альфа = 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка градусов C правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка   — коэффициент теплового расширения, t градусов   — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

В подтеме 2 задач
Разбор
Главная идея: Удлинение рельса выражается как l0αtl_0 \alpha t, поэтому, приравняв его к 3 мм, получаем линейное уравнение для температуры.

Нужно найти температуру, при которой рельс удлинится на 3 мм = 3×10−33 \times 10^{-3} м.

Шаг 1. Составим уравнение для удлинения.

Удлинение — это разность между новой и исходной длиной: l(t)−l0=3×10−3l(t) - l_0 = 3 \times 10^{-3}

Шаг 2. Подставим формулу длины.

По условию l(t)=l0(1+αt)l(t) = l_0(1 + \alpha t), поэтому: l0(1+αt)−l0=3×10−3l_0(1 + \alpha t) - l_0 = 3 \times 10^{-3}

Шаг 3. Упростим левую часть.

Раскроем скобки и приведём подобные: l0+l0αt−l0=3×10−3l_0 + l_0 \alpha t - l_0 = 3 \times 10^{-3} l0αt=3×10−3l_0 \alpha t = 3 \times 10^{-3}

Шаг 4. Выразим температуру. t=3×10−3l0αt = \frac{3 \times 10^{-3}}{l_0 \alpha}

Шаг 5. Подставим числовые значения.

l0=10l_0 = 10 м, α=1,2×10−5\alpha = 1{,}2 \times 10^{-5} (°C)−1^{-1}: t=3×10−310×1,2×10−5=3×10−31,2×10−4t = \frac{3 \times 10^{-3}}{10 \times 1{,}2 \times 10^{-5}} = \frac{3 \times 10^{-3}}{1{,}2 \times 10^{-4}}

Шаг 6. Вычислим. t=31,2×10−3−(−4)=2,5×101=25 °Ct = \frac{3}{1{,}2} \times 10^{-3-(-4)} = 2{,}5 \times 10^{1} = 25 \text{ °C}

Типичные ошибки

  • Забыли перевести 3 мм в метры (3 × 10⁻³), в результате ответ окажется в 1000 раз больше
  • Ошибка в порядке величин при делении степеней: неправильно вычислили 10−3÷10−410^{-3} ÷ 10^{-4}
  • Неправильно упростили скобки в левой части уравнения либо не раскрыли их вообще

Ещё задачи этой подтемы