Задание 9 ЕГЭ: логарифмические уравнения в прикладных задачах

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ — это текстовая задача с прикладным содержанием: физика, техника, экономика. Внутри условия почти всегда спрятана готовая формула, связывающая несколько величин, и в этой формуле встречается логарифм. Ваша задача — не выводить формулу самостоятельно, а грамотно подставить данные и решить получившееся логарифмическое уравнение относительно неизвестной величины.

Типичные сюжеты: разряд конденсатора, охлаждение или нагрев тела, затухание сигнала, рост или убыль величины по экспоненциальному закону. Во всех случаях логарифм появляется потому, что исходная зависимость — показательная (экспонента), а из неё нужно выразить время, температуру, напряжение или другую величину, стоящую «внутри» показателя.

Сложность задания не в теории логарифмов — она минимальна, — а в аккуратности: нужно правильно подставить числа, не запутаться в единицах измерения и довести арифметику до конца без ошибок.

Что нужно знать

Для этой подтемы достаточно всего нескольких фактов.

Определение логарифма. Если $b>0$, $b\neq 1$, $a>0$, то $$\log_b a = n \iff b^n = a.$$ Это единственный факт, который реально используется для решения: превратить логарифмическое равенство в показательное.

Свойства логарифма, которые могут понадобиться при упрощении выражения под знаком логарифма: $$\log_b\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y, \qquad \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y.$$ В большинстве задач 9-го задания дробь под логарифмом уже дана в готовом виде, поэтому эти формулы нужны редко, но полезно узнавать структуру.

Степени двойки и других удобных оснований. Логарифмы в таких задачах чаще всего берутся по основанию 2, реже — по основанию 10 или $e$. Полезно свободно считать: $$2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ 2^5=32,\ 2^6=64,\ 2^7=128,\ 2^8=256,\ 2^{10}=1024.$$ Это ускоряет обратный переход от $\log_2 x = n$ к $x=2^n$.

Умение работать с формулой как с «чёрным ящиком». Не нужно понимать физический смысл коэффициента теплообмена или ёмкости конденсатора — нужно просто аккуратно подставить числовые значения в буквы формулы, соблюдая порядок действий.

Базовые алгебраические навыки: умножение и деление степеней десяти, работа с десятичными дробями, решение простейшего линейного уравнения относительно неизвестной после того, как логарифм «снят».

Как решать: метод и алгоритм

Общая схема решения одинакова почти для всех задач этого типа.

Шаг 1. Выписать данную формулу и все известные величины. Внимательно выделите, что дано числом, а что — буквой-неизвестной, которую нужно найти. Обратите внимание на единицы измерения: если что-то дано в других единицах, чем требуется в ответе, отметьте это сразу.

Шаг 2. Подставить все известные числа в формулу, оставив только неизвестную величину. После подстановки чисел получится равенство вида $$k \cdot \log_b(\text{выражение с неизвестной}) = t,$$ где $k$ и $t$ — уже известные числа (после подсчёта коэффициентов), а неизвестная спрятана внутри логарифма.

Шаг 3. Вычислить коэффициент $k$ перед логарифмом. Это обычно произведение или частное нескольких чисел (например, $\alpha \cdot R \cdot C$ или $\alpha \cdot cm/\gamma$). Такой подсчёт стоит делать отдельно, не смешивая с логарифмом, чтобы не потерять множитель степени десяти.

Шаг 4. Разделить обе части на $k$, чтобы логарифм остался один. $$\log_b(\text{выражение}) = \frac{t}{k}.$$

Шаг 5. Перейти от логарифмического равенства к показательному. По определению логарифма: $$\text{выражение} = b^{\,t/k}.$$

Шаг 6. Решить получившееся уравнение относительно неизвестной величины. Если неизвестная находится в числителе или знаменателе дроби внутри логарифма, аккуратно выразите её через простое уравнение (обычно линейное).

Шаг 7. Проверить ответ на здравый смысл. Температура не может быть отрицательной по модулю физического смысла задачи (например, ниже температуры окружающей среды при остывании), напряжение убывает, а не растёт, и так далее. Проверка спасает от арифметических ошибок.

Этот алгоритм работает для любой формулы такого типа: конденсатор, охлаждение, барометрическая формула, рост бактерий — структура решения одна и та же.

Разбор примера

Пример 1. Разряд конденсатора

Условие. Ёмкость конденсатора $C = 2\cdot10^{-6}$ Ф, сопротивление резистора $R = 5\cdot10^{6}$ Ом. Начальное напряжение $U_0 = 16$ кВ. Время убывания напряжения до значения $U$ описывается формулой $$t = \alpha R C \log_2\frac{U_0}{U} \ \text{(с)},\qquad \alpha = 0{,}7.$$ Найдите напряжение $U$ (в кВ), если прошло $t = 21$ с.

Шаг 1. Данные: $\alpha=0{,}7$, $R=5\cdot10^6$, $C=2\cdot10^{-6}$, $U_0=16$, $t=21$. Неизвестна $U$.

Шаг 2–3. Считаем коэффициент перед логарифмом. $$\alpha R C = 0{,}7 \cdot 5\cdot10^{6} \cdot 2\cdot10^{-6} = 0{,}7 \cdot 10 = 7.$$ Здесь степени десяти сократились: $5\cdot10^6 \cdot 2\cdot10^{-6} = 10\cdot10^{0}=10$.

Теперь уравнение приняло вид: $$21 = 7\log_2\frac{16}{U}.$$

Шаг 4. Делим на коэффициент. $$\log_2\frac{16}{U} = \frac{21}{7} = 3.$$

Шаг 5. Переходим к показательной форме. $$\frac{16}{U} = 2^3 = 8.$$

Шаг 6. Находим $U$. $$U = \frac{16}{8} = 2.$$

Шаг 7. Проверка смысла. Напряжение уменьшилось с 16 кВ до 2 кВ — это разряд, значение убыло, что логично для остывающего конденсатора.

Ответ: 2.

Пример 2. Охлаждение воды в радиаторе

Условие. Температура помещения $T_п = 20\,^{\circ}\text{C}$, расход воды $m = 0{,}3$ кг/с, начальная температура воды $T_в = 60\,^{\circ}\text{C}$. Пройдя расстояние $x$ по трубе, вода охлаждается до температуры $T$: $$x = \alpha\,\frac{cm}{\gamma}\,\log_2\frac{T_в - T_п}{T - T_п},$$ где $c = 4200\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}$, $\gamma = 21\ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot{}^{\circ}\text{C}}$, $\alpha = 0{,}7$. Найдите $T$, если длина трубы $x = 84$ м.

Шаг 1. Данные: $\alpha=0{,}7$, $c=4200$, $m=0{,}3$, $\gamma=21$, $T_в=60$, $T_п=20$, $x=84$. Неизвестна $T$.

Шаг 2–3. Считаем коэффициент. $$\frac{cm}{\gamma} = \frac{4200 \cdot 0{,}3}{21} = \frac{1260}{21} = 60.$$ $$\alpha \cdot 60 = 0{,}7 \cdot 60 = 42.$$

Уравнение принимает вид: $$84 = 42 \log_2\frac{60-20}{T-20} = 42 \log_2\frac{40}{T-20}.$$

Шаг 4. Делим на коэффициент. $$\log_2\frac{40}{T-20} = \frac{84}{42} = 2.$$

Шаг 5. Переходим к показательной форме. $$\frac{40}{T-20} = 2^2 = 4.$$

Шаг 6. Решаем уравнение. $$T - 20 = \frac{40}{4} = 10 \quad\Rightarrow\quad T = 30.$$

Шаг 7. Проверка смысла. Вода охладилась с 60 до 30 градусов, оставаясь выше температуры помещения (20 градусов) — физически корректно, поскольку по формуле охлаждение идёт по экспоненте и никогда не достигает температуры окружающей среды за конечное время.

Ответ: 30.

Типичные ошибки

Неверный переход от логарифмического равенства к показательному. Часто путают, что возводить в степень нужно основание логарифма, а не число под логарифмом. Правило простое: если $\log_b x = n$, то $x = b^n$, а не наоборот.

Ошибки при подсчёте коэффициента перед логарифмом. Особенно легко ошибиться со степенями десяти при умножении $R$ и $C$ или при делении $cm/\gamma$. Рекомендуется считать степени десяти отдельно от «обычных» чисел: сначала перемножить мантиссы, потом — степени.

Путаница, какая переменная в числителе, а какая в знаменателе дроби под логарифмом. Если в формуле стоит $\dfrac{T_в-T_п}{T-T_п}$, а не $\dfrac{T-T_п}{T_в-T_п}$, перестановка местами кардинально меняет ответ. Всегда сверяйтесь с исходной записью формулы.

Забывают разделить на коэффициент перед тем, как «снимать» логарифм. Пытаются сразу возвести обе части в степень основания, не разделив предварительно уравнение на множитель $k$ — получается неверное выражение.

Не проверяют знак и физический смысл ответа. Если в задаче про охлаждение получившаяся температура оказалась ниже температуры окружающей среды или выше начальной температуры воды — это сигнал об ошибке в вычислениях.

Ошибки в арифметике с десятичными дробями, особенно при умножении чисел вида $0{,}7$ на большие или на дробные значения — стоит проверять вычисления повторным подсчётом или прикидкой порядка величины.

На что обратить внимание на экзамене

Внимательно читайте условие и выпишите все числа с единицами измерения в один столбик перед началом решения — так проще заметить, что чего-то не хватает или единицы не совпадают с требуемыми в ответе (например, вольты вместо киловольт).

При подстановке в формулу держите порядок действий: сначала считается коэффициент перед логарифмом, только потом происходит работа с самим логарифмом. Не пытайтесь совмещать оба шага в голове — легко потерять множитель.

Если основание логарифма равно 2, заучите степени двойки хотя бы до $2^{10}$ — это сильно ускоряет обратный переход и уменьшает риск ошибки при устном счёте на экзамене без калькулятора (в профильном ЕГЭ калькулятор не разрешён).

После получения численного ответа сделайте обратную подстановку: вставьте найденное значение неизвестной в исходную формулу и проверьте, что равенство выполняется приближённо. Это занимает меньше минуты, но исключает почти все арифметические ошибки.

Обратите внимание на формат ответа: если в условии просят ответ в конкретных единицах (кВ, градусах, метрах), убедитесь, что не забыли перевести величину, если она изначально была получена в других единицах.

Наконец, помните, что структура задания 9 стандартна: 90% времени решения занимает не сама теория логарифмов, а аккуратная арифметика подстановки данных. Тренируйте именно эту часть — быстрый и безошибочный счёт с десятичными дробями и степенями десяти.