ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства

Задача 27997. Логарифмические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства2.1.6 Логарифмические уравнения

Водолазный колокол, содержащий \nu = 2 моль воздуха при давлении p_1 = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = альфа \nu T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби , где альфа =5,75  — постоянная, T = 300 К  — температура воздуха. Найдите, какое давление p_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

В подтеме 4 задач
Разбор
Главная идея: Подставить все параметры в формулу работы и решить логарифмическое уравнение, используя определение логарифма для перехода от логарифмической к показательной форме.

Подставим все известные значения в формулу для работы: 5,75⋅2⋅300⋅log⁡2p21,5=69005,75 \cdot 2 \cdot 300 \cdot \log_2 \frac{p_2}{1,5} = 6900

Упростим левую часть. Сначала вычислим произведение коэффициентов: 5,75⋅2=11,55,75 \cdot 2 = 11,5 11,5⋅300=345011,5 \cdot 300 = 3450

Получаем: 3450⋅log⁡2p21,5=69003450 \cdot \log_2 \frac{p_2}{1,5} = 6900

Разделим обе части на 3450: log⁡2p21,5=69003450=2\log_2 \frac{p_2}{1,5} = \frac{6900}{3450} = 2

Теперь используем определение логарифма. Если log⁡2x=2\log_2 x = 2, то x=22=4x = 2^2 = 4: p21,5=4\frac{p_2}{1,5} = 4

Умножим обе части на 1,5: p2=4⋅1,5=6p_2 = 4 \cdot 1,5 = 6

Проверка: подставим p2=6p_2 = 6 обратно — получим log⁡261,5=log⁡24=2\log_2 \frac{6}{1,5} = \log_2 4 = 2 ✓

Типичные ошибки

  • Ошибка в вычислении произведения 5,75⋅2⋅3005,75 \cdot 2 \cdot 300 — нужно считать аккуратно поэтапно.
  • Забывают, что log⁡24=2\log_2 4 = 2, а не другое число — требуется знание таблицы степеней двойки.
  • Неправильно применяют определение логарифма: из log⁡2x=2\log_2 x = 2 получают x=2⋅2x = 2 \cdot 2 вместо x=22x = 2^2.

Ещё задачи этой подтемы