ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства

Задача 27995. Логарифмические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства2.1.6 Логарифмические уравнения

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне T_п = 20 градусов C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры T_в = 60 градусов C до температуры T левая круглая скобка градусовC правая круглая скобка , причeм x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби , где c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби   — теплоeмкость воды, гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби   — коэффициент теплообмена, а альфа =0,7  — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

В подтеме 4 задач
Разбор
Главная идея: Подставить известные параметры в формулу теплообмена, упростить арифметику, затем решить логарифмическое уравнение, переходя к показательной форме.

Подставим все известные значения в формулу для расстояния. Нам нужно найти температуру TT при x=84x = 84 м.

0,7⋅4200⋅0,321log⁡260−20T−20=840,7 \cdot \frac{4200 \cdot 0,3}{21} \log_2 \frac{60 - 20}{T - 20} = 84

Упростим коэффициент перед логарифмом: 4200⋅0,321=126021=60\frac{4200 \cdot 0,3}{21} = \frac{1260}{21} = 60

Тогда: 0,7⋅60⋅log⁡240T−20=840,7 \cdot 60 \cdot \log_2 \frac{40}{T - 20} = 84

42⋅log⁡240T−20=8442 \cdot \log_2 \frac{40}{T - 20} = 84

Делим обе части на 42: log⁡240T−20=2\log_2 \frac{40}{T - 20} = 2

Переходим от логарифма к показательной форме. Если log⁡2a=2\log_2 a = 2, то a=22=4a = 2^2 = 4: 40T−20=4\frac{40}{T - 20} = 4

Решаем пропорцию: 40=4(T−20)40 = 4(T - 20)

40=4T−8040 = 4T - 80

120=4T120 = 4T

T=30T = 30

Проверка: при T=30T = 30 имеем 4030−20=4010=4\frac{40}{30-20} = \frac{40}{10} = 4 и log⁡24=2\log_2 4 = 2 ✓

Типичные ошибки

  • Ошибка при упрощении коэффициента: забывают правильно вычислить 4200⋅0,321\frac{4200 \cdot 0,3}{21} или неправильно умножают на 0,7
  • Ошибка при переходе из логарифмической формы: пишут 40T−20=2\frac{40}{T-20} = 2 вместо 40T−20=4\frac{40}{T-20} = 4, забывая, что log⁡2a=2\log_2 a = 2 означает a=22a = 2^2
  • Арифметическая ошибка при решении уравнения 4T−80=404T - 80 = 40: неправильно переносят члены или неверно делят на 4

Ещё задачи этой подтемы