ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства

Задача 27996. Логарифмические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства2.1.6 Логарифмические уравнения

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ  =  3 моль воздуха объeмом V1  =  8 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби левая круглая скобка Дж правая круглая скобка , где α  =  5,75  — постоянная, а T  =  300 К  — температура воздуха. Какой объeм V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

В подтеме 4 задач
Разбор
Главная идея: Подставить данные в формулу работы, выразить логарифм через деление обеих частей на произведение коэффициентов, затем применить определение логарифма для нахождения неизвестного объёма.

Подставляем все известные значения в формулу для работы:

A=ανTlog⁡2V1V2A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2}

10350=5,75⋅3⋅300⋅log⁡28V210350 = 5,75 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_2 \frac{8}{V_2}

Вычислим произведение коэффициентов слева: 5,75⋅3=17,255,75 \cdot 3 = 17,25 17,25⋅300=517517,25 \cdot 300 = 5175

Уравнение принимает вид: 10350=5175⋅log⁡28V210350 = 5175 \cdot \log_2 \frac{8}{V_2}

Разделим обе части на 5175: log⁡28V2=103505175=2\log_2 \frac{8}{V_2} = \frac{10350}{5175} = 2

Теперь используем определение логарифма: если log⁡2x=2\log_2 x = 2, то x=22=4x = 2^2 = 4.

Применяем это: 8V2=4\frac{8}{V_2} = 4

Решаем пропорцию: V2=84=2V_2 = \frac{8}{4} = 2

Ответ: 2 литра.

Типичные ошибки

  • Ошибка в вычислении произведения 5,75 × 3 × 300 — нужна аккуратность с десятичными дробями.
  • Забывают, что log⁡2x=2\log_2 x = 2 означает x=4x = 4, а не x=2x = 2.
  • Путают направление дроби в логарифме и получают V₂ = 32 вместо V₂ = 2.

Ещё задачи этой подтемы