ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства

Задача 27994. Логарифмические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Логарифмические уравнения и неравенства2.1.6 Логарифмические уравнения

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением R = 5 умножить на 10 в степени 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U_0 = 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби (с), где альфа =0,7 − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

В подтеме 4 задач
Разбор
Главная идея: Сводим задачу к решению логарифмического уравнения, подставляя все параметры в физическую формулу, затем последовательно упрощаем, избавляясь от логарифма через его определение.

Подставим все известные значения в формулу для времени разряда конденсатора.

Дано: t=21t = 21 с, U0=16U_0 = 16 кВ, R=5×106R = 5 \times 10^6 Ом, C=2×10−6C = 2 \times 10^{-6} Ф, α=0,7\alpha = 0,7.

Формула: t=αRClog⁡2U0Ut = \alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}

Шаг 1: Вычислим произведение αRC\alpha RC: αRC=0,7×2×10−6×5×106\alpha RC = 0,7 \times 2 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^6

Перемножим числовые коэффициенты и степени отдельно: =0,7×2×5×10−6×106=7×100=7= 0,7 \times 2 \times 5 \times 10^{-6} \times 10^6 = 7 \times 10^0 = 7

Шаг 2: Подставим в уравнение: 21=7log⁡216U21 = 7 \log_2 \frac{16}{U}

Шаг 3: Разделим обе части на 7: log⁡216U=3\log_2 \frac{16}{U} = 3

Шаг 4: Перейдём от логарифмического уравнения к показательному. По определению логарифма, если log⁡2x=3\log_2 x = 3, то x=23x = 2^3: 16U=23=8\frac{16}{U} = 2^3 = 8

Шаг 5: Выразим UU: U=168=2 кВU = \frac{16}{8} = 2 \text{ кВ}

Типичные ошибки

  • Ошибка при произведении RCRC: неправильное сложение показателей степеней 10−6×10610^{-6} \times 10^6 (должно быть 100=110^0 = 1, а не забывать это)
  • Забывают разделить обе части на коэффициент перед логарифмом (на 7) перед тем, как применять определение логарифма
  • Неправильный переход от логарифмического уравнения: забывают, что log⁡2x=3\log_2 x = 3 означает x=23x = 2^3, а не x=32x = 3^2

Ещё задачи этой подтемы