Задание 9 ЕГЭ: рациональные уравнения и неравенства в прикладных задачах

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ — это прикладная задача из физики, техники или повседневной жизни, в которой дана готовая формула, связывающая несколько величин. Обычно формула содержит дроби: скорость, расстояние, частота, сопротивление, оптическая сила линзы и т.п. От вас требуется не решить формулу «в общем виде», а найти конкретное числовое значение одной из величин — часто наименьшее или наибольшее возможное — при заданных ограничениях на остальные переменные.

По сути, за физическим или техническим оформлением скрывается обычное рациональное уравнение или неравенство с одной переменной. Умение быстро переписать формулу в виде дробно-рационального выражения, привести его к общему знаменателю и правильно работать с неравенством — ключевой навык для этой подтемы. Никакой сложной физики знать не нужно: все формулы даны в условии, задача — чисто алгебраическая.

Что нужно знать

Для уверенного решения задания 9 достаточно владеть следующим набором фактов и приёмов.

• Приведение дробей к общему знаменателю. Большинство формул в этой подтеме — суммы или разности дробей вида $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$ или $\frac{a}{b - x}$. Нужно уверенно складывать и вычитать такие выражения.

• Выражение переменной из формулы. Часто нужную величину нельзя выразить «в один шаг» — сначала выражают обратную величину ($\frac{1}{d_1}$), а затем переходят к самой величине ($d_1$).

• Монотонность простых функций. Если $y = \frac{1}{x}$, то при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается, и наоборот. Аналогично для выражений вида $\frac{c}{b-x}$: чем больше $x$ (при $x < b$), тем больше значение дроби. Это позволяет находить наименьшее или наибольшее значение искомой величины без производных — простой подстановкой границы диапазона.

• Решение рациональных неравенств методом интервалов. Нужно уметь привести неравенство к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ (или $\le$, $>$, $<$), найти нули числителя и знаменателя, расставить знаки на интервалах и выбрать нужный.

• Учёт области допустимых значений. Знаменатель не может быть равен нулю; кроме того, у величин есть физический смысл — расстояния и скорости положительны, скорость движения не может достигать скорости распространения сигнала (звука, света) и превышать её, значения должны попадать в диапазон, указанный в условии.

• Аккуратная работа со знаком неравенства при умножении/делении на выражение с переменной. Если знак этого выражения неизвестен заранее, нужно либо доказать его постоянство на ОДЗ, либо рассматривать случаи отдельно.

Как решать: метод и алгоритм

1. Прочитать условие и выделить данные. Найдите: какая величина неизвестна и её физический смысл; какая формула связывает её с другими величинами; какие диапазоны заданы для остальных переменных; что именно нужно найти — само значение, наименьшее/наибольшее значение или условие выполнения неравенства.

2. Записать формулу как уравнение или неравенство. Если вопрос звучит как «найдите значение, при котором выполняется условие», обычно возникает неравенство (например, разница частот не меньше заданной). Если нужно просто найти неизвестную величину по формуле — это уравнение.

3. Выразить искомую переменную. Перенесите слагаемые, приведите к общему знаменателю, при необходимости сначала выразите обратную величину, а затем перейдите к самой переменной.

4. Определить, при каком значении свободной переменной достигается экстремум. Проанализируйте, как искомая величина зависит от той переменной, которая может принимать значения из диапазона: возрастает она или убывает при увеличении этой переменной. Подставьте соответствующую границу диапазона (минимальную или максимальную) — ту, что даёт нужный экстремум искомой величины.

5. Если возникает неравенство — решить его методом интервалов. Приведите неравенство к дробно-рациональному виду, найдите нули числителя и знаменателя, расставьте знаки, выберите нужный промежуток с учётом строгости неравенства и ОДЗ.

6. Проверить результат на соответствие всем ограничениям задачи. Подставьте найденное значение обратно в условие: попадает ли оно в указанный диапазон, не нарушает ли физический смысл (положительность, ограничение сверху скоростью сигнала и т.д.).

7. Оформить ответ в нужных единицах и с нужным округлением, если это указано в условии.

Разбор примера

Пример 1. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — от 150 до 180 см. Изображение чёткое, если

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.$$

Найдите наименьшее возможное расстояние $d_1$.

Шаг 1. Выразим $\frac{1}{d_1}$ из формулы:

$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}.$$

Шаг 2. Нам нужно наименьшее $d_1$. Так как функция $y = \frac{1}{x}$ убывает, наименьшему $d_1$ соответствует наибольшее значение $\frac{1}{d_1}$.

Шаг 3. Правая часть — это разность $\frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}$. Она максимальна, когда вычитаемое $\frac{1}{d_2}$ минимально, то есть когда $d_2$ максимально. По условию $d_2 \in [150; 180]$, значит берём $d_2 = 180$.

Шаг 4. Подставляем:

$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{180} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}.$$

Отсюда $d_1 = 36$ см.

Шаг 5. Проверка: $d_1 = 36$ попадает в диапазон $[30; 50]$ — условие выполнено.

Ответ: 36.

Ключевая идея этого примера — понять, что минимизация $d_1$ через обратную зависимость сводится к максимизации правой части, а значит, к выбору «правильной» границы диапазона для $d_2$, а не к прямой подстановке крайних значений наугад.

Пример 2. Тепловоз издаёт гудок частотой $f_0 = 440$ Гц. Приближающийся тепловоз издаёт гудок с частотой

$$f(v) = \frac{f_0}{1 - \dfrac{v}{c}} \text{ (Гц)},$$

где $c = 315$ м/с — скорость звука. Человек различает сигналы, если разница частот не менее 10 Гц. Найдите минимальную скорость тепловоза.

Шаг 1. Запишем условие различимости сигналов в виде неравенства:

$$f(v) - f_0 \ge 10.$$

Шаг 2. Подставим формулу и числа:

$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} - 440 \ge 10.$$

Шаг 3. Упростим левую дробь, приведя к общему знаменателю $315$:

$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} = \frac{440 \cdot 315}{315 - v} = \frac{138600}{315 - v}.$$

Шаг 4. Неравенство принимает вид:

$$\frac{138600}{315 - v} - 440 \ge 10.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{138600 - 440(315 - v)}{315 - v} \ge 10.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$138600 - 440 \cdot 315 + 440v = 138600 - 138600 + 440v = 440v.$$

Получаем:

$$\frac{440v}{315 - v} \ge 10.$$

Шаг 5. Так как скорость тепловоза меньше скорости звука ($v < 315$), знаменатель $315 - v$ положителен, значит можно умножать обе части на него, не меняя знак неравенства:

$$440v \ge 10(315 - v).$$

Шаг 6. Раскроем скобки и решим:

$$440v \ge 3150 - 10v,$$ $$450v \ge 3150,$$ $$v \ge 7.$$

Шаг 7. Проверка ОДЗ: $v = 7 < 315$, знаменатель положителен, все преобразования корректны. Минимальная скорость, удовлетворяющая условию, — $v = 7$ м/с.

Ответ: 7.

Здесь важно было заметить, что знаменатель $315 - v$ положителен на всей области допустимых значений скорости, поэтому умножение неравенства на него не требовало смены знака и разбора случаев.

Типичные ошибки

• Неверный выбор границы диапазона при поиске экстремума. Часто подставляют не ту границу, не разобравшись, возрастает или убывает искомая величина при изменении свободного параметра. Перед подстановкой стоит явно сформулировать: «чтобы искомая величина была наименьшей, нужно, чтобы вот это выражение было наибольшим (или наименьшим)».

• Игнорирование ОДЗ. Забывают, что знаменатель не может обращаться в ноль, а скорость движения не может равняться или превышать скорость сигнала (звука, света) — это может привести к «решению», не имеющему физического смысла.

• Ошибки при умножении неравенства на выражение с переменной. Если знак выражения в знаменателе не установлен заранее, при умножении обеих частей неравенства на него нужно либо доказать его постоянный знак на ОДЗ, либо рассмотреть оба случая — иначе легко потерять или добавить лишний знак неравенства.

• Отсутствие проверки итогового значения по всем условиям задачи. Найденное число может формально удовлетворять уравнению, но не попадать в указанный в условии диапазон — такой ответ будет неверным.

• Преждевременное округление. Округление промежуточных результатов вместо финального ответа накапливает погрешность и портит верный по методу ответ.

• Путаница между «наименьшим значением искомой величины» и «наименьшим значением параметра, от которого она зависит». Это разные вещи, и нужно чётко понимать, какую переменную минимизируют/максимизируют изначально, а какую — в итоге ищут.

На что обратить внимание на экзамене

• Сначала внимательно определите, что именно требуется найти: конкретное значение, наименьшее, наибольшее значение или условие на параметр. От этого зависит, уравнение перед вами или неравенство.

• Доводите алгебраические преобразования до конца, прежде чем подставлять числа — так меньше риска ошибиться в арифметике при работе с громоздкими дробями.

• Явно проговаривайте (хотя бы для себя), как искомая величина зависит от свободного параметра — возрастает или убывает, — прежде чем выбирать границу диапазона.

• При умножении или делении неравенства на выражение с переменной всегда проверяйте его знак на области допустимых значений.

• В конце обязательно подставьте найденный ответ в исходную формулу и проверьте, что он укладывается во все указанные в условии диапазоны и физически осмыслен.

• Обратите внимание на единицы измерения и требуемую точность ответа — иногда требуется округление или запись в определённых единицах.