Задача 27971. Рациональные уравнения и неравенства

Нужно найти минимальную скорость, при которой различие частот составляет хотя бы 10 Гц. Составим неравенство:

$$f(v) - f_0 \geq 10$$

Подставим формулу для $f(v)$ и известные значения:

$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} - 440 \geq 10$$

Упростим левую часть, приведя к общему знаменателю:

$$\frac{440}{1 - \frac{v}{315}} = \frac{440 \cdot 315}{315 - v} = \frac{138600}{315 - v}$$

Тогда:

$$\frac{138600}{315 - v} - 440 \geq 10$$

$$\frac{138600 - 440(315 - v)}{315 - v} \geq 10$$

$$\frac{138600 - 138600 + 440v}{315 - v} \geq 10$$

$$\frac{440v}{315 - v} \geq 10$$

Делим обе части на 10:

$$\frac{44v}{315 - v} \geq 1$$

$$44v \geq 315 - v$$

$$45v \geq 315$$

$$v \geq 7$$

Оригинальное ограничение $v < 315$ гарантирует, что знаменатель положителен. Минимальное значение скорости, удовлетворяющее условию: $v = 7$ м/с.