Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения и неравенства

Нужно найти максимальную частоту $\omega < \omega_p$, при которой амплитуда не превышает $A_0$ более чем на 12,5%. Условие записывается как $A(\omega) \leq 1,125A_0$.

Подставим формулу амплитуды в неравенство: $$\frac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1,125A_0$$

Поскольку $\omega < \omega_p = 360$, имеем $\omega_p^2 > \omega^2$, поэтому $|\omega_p^2 - \omega^2| = \omega_p^2 - \omega^2$.

Упростим, разделив обе части на $A_0$: $$\frac{\omega_p^2}{\omega_p^2 - \omega^2} \leq 1,125$$

Проведём перекрестное умножение (знак неравенства сохраняется, так как $\omega_p^2 - \omega^2 > 0$): $$\omega_p^2 \leq 1,125(\omega_p^2 - \omega^2)$$

Раскроем скобки: $$\omega_p^2 \leq 1,125\omega_p^2 - 1,125\omega^2$$

Перенесём все слагаемые с $\omega$ влево, с $\omega_p$ вправо: $$1,125\omega^2 \leq 0,125\omega_p^2$$

Делим на 1,125: $$\omega^2 \leq \frac{0,125}{1,125}\omega_p^2 = \frac{1}{9}\omega_p^2$$

Извлечём корень: $$\omega \leq \frac{\omega_p}{3} = \frac{360}{3} = 120$$

Максимальная частота, удовлетворяющая условию, — это $\omega = 120$ с$^{-1}$.