ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства

Задача 27972. Рациональные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства2.2.2 Рациональные неравенства

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби , где \varepsilon   — ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20\% от силы тока короткого замыкания I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби  ? (Ответ выразите в омах.)

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Запишите условие «ток не более 20% от короткого замыкания» как неравенство, подставьте формулы закона Ома и внутреннее сопротивление, затем решите рациональное неравенство через обращение дроби.

Нужно найти минимальное сопротивление RR, при котором сила тока в цепи не превысит 20% от силы тока короткого замыкания.

Шаг 1. Запишем условие в виде неравенства.

По условию: I≤0,2IкзI \leq 0,2 I_{кз}

Подставим формулы: εR+r≤0,2⋅εr\frac{\varepsilon}{R + r} \leq 0,2 \cdot \frac{\varepsilon}{r}

Шаг 2. Подставим известное значение r=1r = 1 Ом.

εR+1≤0,2⋅ε1\frac{\varepsilon}{R + 1} \leq 0,2 \cdot \frac{\varepsilon}{1}

Шаг 3. Сократим на ε\varepsilon (она положительна).

1R+1≤0,2\frac{1}{R + 1} \leq 0,2

Шаг 4. Перевернём дробь, изменив знак неравенства.

Так как обе части положительны, при переходе к обратным величинам неравенство меняется: R+1≥5R + 1 \geq 5

Шаг 5. Найдём минимальное значение RR.

R≥4R \geq 4

Наименьшее значение: R=4R = 4 Ом.

Типичные ошибки

  • Забыли подставить значение r=1r = 1 и решали в общем виде, что усложняет вычисления.
  • При переходе к обратным дробям не изменили знак неравенства — неравенство меняет смысл, когда обе части положительны.
  • Потеряли коэффициент 0,2 или ошиблись при его преобразовании в дробь 15\frac{1}{5}.

Ещё задачи этой подтемы