ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства2.1.2 Рациональные уравнения

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана  — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Наименьшему расстоянию d1d_1 соответствует максимум величины 1d1\frac{1}{d_1}, что достигается при максимальном d2=180d_2 = 180 см.

Из формулы линзы выразим 1d1\frac{1}{d_1}:

1d1+1d2=1f\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}

1d1=130−1d2\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}

Чтобы найти наименьшее d1d_1, нужно максимизировать 1d1\frac{1}{d_1} (поскольку чем больше обратная величина, тем меньше само число). Правая часть — это разность двух дробей: 130−1d2\frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}. Эта разность максимальна, когда вычитаемое 1d2\frac{1}{d_2} минимально, что происходит при наибольшем значении d2d_2.

По условию d2d_2 может быть от 150 до 180 см, поэтому берём максимум: d2=180d_2 = 180 см.

Подставляем:

1d1=130−1180\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{180}

Приводим к общему знаменателю (180):

1d1=6180−1180=5180=136\frac{1}{d_1} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}

Отсюда d1=36d_1 = 36 см.

Проверим ограничение: 30 ≤ 36 ≤ 50 — условие выполнено.

Типичные ошибки

  • Забыли, что нужно максимизировать 1d1\frac{1}{d_1} (а не само d1d_1) — это приводит к выбору минимального d2d_2 вместо максимального
  • Ошибка при приведении дробей к общему знаменателю: 130−1180\frac{1}{30} - \frac{1}{180} требует умножения первой дроби на 6
  • Неправильная проверка: найденное значение 36 см должно лежать в диапазоне 30–50 см; если бы оно не подходило, нужно было бы пересмотреть выбор границ
Непонятно?

Похожие задачи