ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства

Задача 27977. Рациональные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства2.2.2 Рациональные неравенства

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой mв (в килограммах) от температуры t1 до температуры t2 (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы mдр кг. Он определяется формулой \eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%, где c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка   — теплоёмкость воды, q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг  — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть mв  =  83 кг воды от 10 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Подставить данные в формулу КПД, получить неравенство 378m≤21\frac{378}{m}\le 21 и найти наименьшее mm.

Подставим данные в формулу КПД и решим неравенство η≤21\eta\le 21.

1. Числитель (теплота, пошедшая на нагрев воды): cвmв(t2−t1)=4,2⋅103⋅83⋅(100−10)=4200⋅83⋅90=3,1374⋅107 Дж.c_в m_в (t_2-t_1)=4{,}2\cdot10^3\cdot 83\cdot(100-10)=4200\cdot 83\cdot 90=3{,}1374\cdot 10^7\ \text{Дж}.

2. Выражение для КПД через неизвестную массу дров mm: η=3,1374⋅1078,3⋅106⋅m⋅100%=3,1374⋅1098,3⋅106 m=378m (%),\eta=\frac{3{,}1374\cdot10^{7}}{8{,}3\cdot10^{6}\cdot m}\cdot 100\%=\frac{3{,}1374\cdot10^{9}}{8{,}3\cdot10^{6}\,m}=\frac{378}{m}\ (\%), так как 8,3⋅106⋅378=3,1374⋅1098{,}3\cdot10^6\cdot 378=3{,}1374\cdot10^9.

3. Условие «КПД не больше 21%»: 378m≤21.\frac{378}{m}\le 21. При m>0m>0 умножаем на mm и делим на 21: 378≤21m ⇒ m≥18.378\le 21m\ \Rightarrow\ m\ge 18.

Значит, наименьшая масса дров равна 1818 кг (чем больше дров, тем меньше КПД, поэтому ограничение даёт минимум массы).

Типичные ошибки

  • Забыть перевести проценты (потерять множитель 100) и получить массу в 100 раз меньше.
  • Ошибиться в разности температур: взять 100 вместо 100−10=90100-10=90.
  • Неверно перевернуть неравенство при делении на mm и выбрать наибольшее значение вместо наименьшего.

Ещё задачи этой подтемы