ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства

Задача 27979. Рациональные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства2.2.2 Рациональные неравенства

К источнику с ЭДС \varepsilon = 55 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.

Показать ответ
5ответ для бланка

Разбор

Главная идея: Свести неравенство εRR+r≥50\frac{\varepsilon R}{R+r}\ge 50 к линейному, умножив на положительный знаменатель, и взять наименьшее RR.

Нужно, чтобы напряжение было не меньше 50 В: εRR+r≥50,55RR+0,5≥50.\frac{\varepsilon R}{R+r}\ge 50,\qquad \frac{55R}{R+0{,}5}\ge 50.

Сопротивление положительно, значит R+0,5>0R+0{,}5>0, и на это выражение можно умножить обе части, не меняя знак неравенства: 55R≥50(R+0,5).55R\ge 50(R+0{,}5).

Раскрываем скобки и переносим: 55R≥50R+25 ⇒ 5R≥25 ⇒ R≥5.55R\ge 50R+25\ \Rightarrow\ 5R\ge 25\ \Rightarrow\ R\ge 5.

Значит, наименьшее подходящее сопротивление R=5R=5 Ом.

Проверка: U=55⋅55+0,5=2755,5=50U=\dfrac{55\cdot 5}{5+0{,}5}=\dfrac{275}{5{,}5}=50 В — условие выполнено.

Типичные ошибки

  • Умножение на знаменатель без учёта его знака (хотя здесь он положителен, привычка приводит к ошибкам).
  • Ошибка знака при переносе: получают R≤5R\le 5 и берут неверную границу.
  • Арифметическая ошибка в 50⋅0,5=2550\cdot0{,}5=25 (пишут 5 или 2,5).

Ещё задачи этой подтемы