ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Рациональные уравнения и неравенства2.2.2 Рациональные неравенства

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0 = 150 Гц и определяется следующим выражением: f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=10 м/с и v =15 м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Неравенство с дробью решается приведением к одной дроби и анализом знаков на интервалах, разделённых нулями числителя и знаменателя.

Подставим известные значения в формулу: f0=150f_0 = 150 Гц, u=10u = 10 м/с, v=15v = 15 м/с.

Получаем неравенство: 150⋅c+10c−15≥160150 \cdot \frac{c + 10}{c - 15} \geq 160

Делим обе части на 10 для упрощения: 15⋅c+10c−15≥1615 \cdot \frac{c + 10}{c - 15} \geq 16

Переносим всё в левую часть: 15⋅c+10c−15−16≥015 \cdot \frac{c + 10}{c - 15} - 16 \geq 0

Приводим к общему знаменателю: 15(c+10)−16(c−15)c−15≥0\frac{15(c + 10) - 16(c - 15)}{c - 15} \geq 0

Раскрываем скобки в числителе: 15c+150−16c+240=390−c15c + 150 - 16c + 240 = 390 - c

Получаем: 390−cc−15≥0\frac{390 - c}{c - 15} \geq 0

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Нули: числитель = 0 при c=390c = 390, знаменатель = 0 при c=15c = 15.

Анализ знаков:

  • При c<15c < 15: числитель положителен, знаменатель отрицателен → дробь отрицательна
  • При 15<c<39015 < c < 390: числитель положителен, знаменатель положителен → дробь положительна
  • При c>390c > 390: числитель отрицателен, знаменатель положителен → дробь отрицательна
  • При c=390c = 390: числитель равен нулю → дробь равна нулю

Условие 390−cc−15≥0\frac{390 - c}{c - 15} \geq 0 выполняется при 15<c≤39015 < c \leq 390.

Максимальное значение: c=390c = 390 м/с.

Типичные ошибки

  • Забывают, что знаменатель не может равняться нулю (исключают точку c=15c = 15 из рассмотрения)
  • Ошибка в раскрытии скобок при приведении к общему знаменателю
  • Неправильное определение интервалов знакопостоянства дроби при анализе метода интервалов
Непонятно?

Похожие задачи