Иррациональные уравнения в задании 9 ЕГЭ (профиль): прикладные задачи

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ — это прикладная задача: дана формула из физики, геометрии или техники, известны почти все величины, а одну нужно найти. Подтема «Иррациональные уравнения и неравенства» охватывает случаи, когда искомая величина стоит под знаком корня — обычно квадратного. Чтобы её найти, нужно решить уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ или неравенство с корнем. Формулировка задачи может звучать по-разному — скорость автомобиля, длина ракеты, период колебаний маятника, — но математическая суть всегда одна: подставить числа в формулу и аккуратно избавиться от корня.

Важно понимать: физический или геометрический смысл здесь вторичен. Формула дана полностью, знать её наизусть не требуется. Главное — техника работы с корнями: изоляция корня, возведение в квадрат, проверка условий неотрицательности.

Что нужно знать

• Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ определён только при $x \ge 0$ и сам всегда неотрицателен: $\sqrt{x} \ge 0$.
• Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе $$\begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$$ Это ключевое правило: возводить в квадрат можно только когда правая часть неотрицательна, иначе появится посторонний корень.
• Свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$ и $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ для неотрицательных $a, b$.
• Для неравенств: $$\sqrt{f(x)} \le a \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) \le a^2 \end{cases} \quad (a \ge 0)$$ $$\sqrt{f(x)} \ge a \iff f(x) \ge a^2 \quad (a \ge 0,\ f(x)\ge0 \text{ по смыслу})$$
• В прикладных задачах величины (скорость, время, длина, ускорение) по смыслу задачи неотрицательны — это упрощает работу с ОДЗ, но проверять всё равно нужно.
• Умение решать линейные и квадратные уравнения, полученные после возведения в квадрат.
• Аккуратная работа со степенями десяти и единицами измерения — в задачах часто встречаются большие числа вида $3\cdot10^5$.

Как решать: метод и алгоритм

1. Выписать данную формулу и определить, какая величина неизвестна, а какие даны.
2. Подставить все известные числа в формулу, получить уравнение с корнем относительно неизвестной.
3. Изолировать корень: перенести все остальные слагаемые так, чтобы в одной части осталось только выражение с корнем.
4. Убедиться, что противоположная часть уравнения неотрицательна — это либо следует из физического смысла (скорость, длина не бывают отрицательными), либо проверяется явно.
5. Возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня.
6. Решить полученное алгебраическое уравнение (обычно линейное или квадратное).
7. Проверить найденное значение подстановкой в исходную формулу — это исключает посторонние корни и арифметические ошибки.
8. Если в условии есть слова «не более», «не менее», «минимальная», «максимальная величина» — записать соответствующее неравенство с корнем, свести его к системе без корня и найти граничное значение параметра (как правило, именно оно и является ответом).
9. Записать результат в требуемых единицах измерения — это указано в конце условия.

Разбор примера

Пример 1. Автомобиль разгоняется с постоянным ускорением $a$ км/ч². Скорость вычисляется по формуле $$v = \sqrt{2la},$$ где $l$ — пройденный путь. Найдите ускорение, при котором автомобиль, проехав 1 км, приобретает скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Шаг 1. Подставляем данные: $l = 1$, $v = 100$: $$100 = \sqrt{2\cdot 1\cdot a} = \sqrt{2a}$$

Шаг 2. Правая часть уравнения — скорость, она положительна, значит возведение в квадрат корректно и не даёт посторонних корней: $$100^2 = 2a \quad\Rightarrow\quad 10000 = 2a$$

Шаг 3. Находим $a$: $$a = \frac{10000}{2} = 5000$$

Проверка: подставим обратно $a=5000$, $l=1$: $v=\sqrt{2\cdot1\cdot5000}=\sqrt{10000}=100$ км/ч — совпадает с условием.

Ответ: 5000 км/ч².

Пример 2. Видимая длина движущейся ракеты сокращается по закону $$l = l_0\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}},$$ где $l_0 = 5$ м, $c = 3\cdot10^5$ км/с. Найдите минимальную скорость ракеты, при которой наблюдаемая длина не превышает 4 м. Ответ в км/с.

Шаг 1. По смыслу задачи минимальная скорость, дающая длину не более 4 м, — это скорость, при которой длина равна ровно 4 м (при бо́льшей скорости корень становится меньше, длина уменьшается ещё сильнее). Значит решаем уравнение: $$5\sqrt{1-\frac{v^2}{(3\cdot10^5)^2}} = 4$$

Шаг 2. Изолируем корень, разделив обе части на 5: $$\sqrt{1-\frac{v^2}{9\cdot10^{10}}} = \frac{4}{5}$$

Шаг 3. Правая часть положительна, возводим в квадрат: $$1-\frac{v^2}{9\cdot10^{10}} = \frac{16}{25}$$

Шаг 4. Переносим слагаемые: $$\frac{v^2}{9\cdot10^{10}} = 1-\frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Шаг 5. Умножаем обе части на $9\cdot10^{10}$: $$v^2 = \frac{9}{25}\cdot 9\cdot10^{10} = \frac{81}{25}\cdot10^{10}$$

Шаг 6. Извлекаем корень (берём положительное значение, так как скорость положительна): $$v = \frac{9}{5}\cdot10^5 = 1{,}8\cdot10^5 = 180\,000 \text{ км/с}$$

Шаг 7. Проверка смысла: при скорости больше найденной корень в формуле уменьшается, длина становится меньше 4 м — условие «не более 4 м» выполняется. Значит найденное значение и есть минимальная требуемая скорость.

Ответ: 180 000 км/с.

Оба примера показывают общую схему: подстановка данных, изоляция корня, возведение в квадрат, решение алгебраического уравнения, проверка знака и смысла ответа.

Типичные ошибки

• Возведение в квадрат без проверки, что противоположная часть уравнения неотрицательна — риск получить посторонний корень.
• Ошибки при переносе слагаемых в момент изоляции корня (потеря знака, неверный перенос дробей).
• Арифметические промахи при возведении чисел в квадрат, особенно с большими числами и степенями десяти: $100^2 = 10000$, а не $1000$.
• Путаница единиц измерения — забывают согласовать порядок величин (например, при работе со скоростью света в км/с).
• Неверная интерпретация фразы «минимальная/максимальная величина, чтобы выполнялось условие» — путают направление неравенства или забывают, что ответом служит граничное значение.
• Потеря знака при извлечении квадратного корня из $v^2$: формально получаются два корня, но по смыслу задачи величина (скорость, длина, ускорение) берётся только положительной.
• Промежуточное округление дробей, из-за которого итоговый ответ оказывается неточным — все вычисления стоит вести точно, округляя (если нужно) только в самом конце.
• Пропуск финальной проверки подстановкой — без неё легко не заметить арифметическую ошибку.

На что обратить внимание на экзамене

• Формула для решения всегда дана в условии — не нужно вспоминать физические законы, только уметь работать с алгеброй корней.
• Чётко определяй, какая величина неизвестна и в каких единицах должен быть записан ответ — это указано в последнем предложении условия.
• Если в задаче встречаются слова «не более», «не менее», «минимальный», «максимальный», задача сводится к неравенству с корнем, но в качестве ответа почти всегда берётся граничное значение — то есть решается уравнение на границе неравенства.
• После нахождения ответа обязательно подставляй его обратно в исходную формулу — это самый быстрый способ поймать ошибку в вычислениях.
• При работе с большими числами удобно переводить их в стандартный вид (например, $3\cdot10^5$) и оперировать степенями десяти отдельно от мантиссы.
• Если итоговое число получилось «некрасивым» — не целым и не простой конечной дробью — скорее всего, где-то допущена вычислительная ошибка, стоит пересчитать шаги заново.
• Помни про физический смысл величины: скорость, длина, время, ускорение не бывают отрицательными, это часто автоматически исключает один из формальных корней уравнения.