Задание 9 ЕГЭ: тригонометрия в прикладных задачах (физика, дифракция, соударения)

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с формулой, которая описывает реальный процесс — физический, технический, геометрический. В части задач формула содержит тригонометрическую функцию угла: синус, косинус или тангенс. Такие задачи можно встретить в темах оптики (дифракция света), механики (соударение тел, движение по окружности), электротехники и других разделов. Математическая суть всегда одна и та же: подставить в формулу известные числа, получить простое тригонометрическое уравнение или неравенство и найти нужную величину — угол, длину, время или другой параметр. Никакой «настоящей» физики знать не требуется — все формулы даны в условии, а тригонометрическая часть сводится к элементарным уравнениям вида $\sin x = a$, $\cos x = a$ или к неравенствам такого же вида.

Что нужно знать

• Табличные значения синуса, косинуса и тангенса для углов $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ — почти всегда ответ получается именно на одном из этих углов.
• Монотонность функций на промежутке $[0^\circ, 90^\circ]$: синус возрастает от 0 до 1, косинус убывает от 1 до 0. Это единственный факт, который позволяет переходить от неравенства с функцией к неравенству с углом (или наоборот) без ошибок в направлении знака.
• Связь между углом и функцией: чтобы найти угол по известному значению синуса или косинуса, достаточно узнать табличное значение — вычислять $\arcsin$ или $\arccos$ через калькулятор в задании не нужно, так как ответ всегда «красивый».
• Умение решать линейные и простейшие квадратные уравнения относительно неизвестной величины, стоящей внутри тригонометрической функции или рядом с ней.
• Понимание словесных формулировок неравенств: «не менее» означает $\ge$, «не превосходит» означает $\le$, «строго больше» — $>$.
• Учёт естественных ограничений задачи: угол лежит в физически осмысленном диапазоне (обычно $0^\circ$–$90^\circ$ или $0^\circ$–$180^\circ$), номера максимумов, периоды решёток и подобные величины — натуральные числа.

Как решать: метод и алгоритм

1. Выпишите формулу из условия и подставьте все числовые данные, которые даны явно (массы, скорости, длины волн и т.п.). В формуле должна остаться ровно одна неизвестная — либо сам угол, либо величина, через которую угол связан с условием (период решётки, номер максимума и т.д.).
2. Определите тип задачи: нужно найти точное значение (тогда получится уравнение) или наименьшее/наибольшее значение при выполнении условия «не менее»/«не более» (тогда получится неравенство).
3. Для уравнения: выразите тригонометрическую функцию через известные числа, сравните полученное значение с таблицей и найдите угол.
4. Для неравенства: приведите его к виду $\sin(\text{угол}) \ge a$ (или $\le a$, или с косинусом), затем, используя монотонность функции на рассматриваемом промежутке, перейдите к неравенству относительно самого угла или другой переменной, стоящей под функцией.
5. Учтите ограничения задачи: если ищется минимальный или максимальный угол при заданном интервале допустимых значений другого параметра (например, периода решётки), подставьте граничное значение этого параметра, которое даёт нужный экстремум функции.
6. Проверьте целочисленные и физические условия: номер максимума, период решётки в нанометрах и подобные величины должны быть натуральными числами и попадать в допустимый диапазон.
7. Дайте ответ в требуемых единицах (обычно в градусах) и убедитесь, что он соответствует смыслу задачи — например, что это именно минимальный, а не любой подходящий угол.

Разбор примера

Пример 1. При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 400$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию максимумов, причём угол $\varphi$ и номер максимума $k$ связаны соотношением $$d\sin\varphi = k\lambda.$$ Нужно найти минимальный угол $\varphi$ (в градусах), под которым можно наблюдать второй максимум ($k=2$) на решётке с периодом, не превосходящим 1600 нм.

Шаг 1. Подставляем известные данные: $k=2$, $\lambda = 400$ нм, значит $$d\sin\varphi = 2\cdot 400 = 800.$$ Отсюда $$\sin\varphi = \dfrac{800}{d}.$$

Шаг 2. По условию $d \le 1600$ нм. Так как второй максимум вообще должен существовать, нужно $\sin\varphi \le 1$, то есть $d \ge 800$ нм. Таким образом, допустимые значения периода лежат в диапазоне $800 \le d \le 1600$.

Шаг 3. Задача — найти минимальный угол $\varphi$. Синус на промежутке $[0^\circ,90^\circ]$ монотонно возрастает, поэтому минимальному углу соответствует минимальное значение синуса. Из формулы $\sin\varphi = 800/d$ видно: чем больше $d$, тем меньше $\sin\varphi$. Значит, минимальный синус — а вместе с ним и минимальный угол — достигается при максимально допустимом периоде $d = 1600$ нм.

Шаг 4. Подставляем: $$\sin\varphi = \dfrac{800}{1600} = 0{,}5.$$ Это табличное значение, поэтому $$\varphi = 30^\circ.$$

Ответ: 30.

Пример 2. Два тела массой $m=2$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. При абсолютно неупругом соударении выделяется энергия $$Q = mv^2\sin^2\alpha.$$ Нужно найти наименьший угол $2\alpha$ (в градусах), при котором $Q \ge 50$ Дж.

Шаг 1. Подставляем числа: $mv^2 = 2\cdot 10^2 = 200$. Формула принимает вид $$Q = 200\sin^2\alpha.$$

Шаг 2. Условие «не менее 50 Дж» записываем как неравенство: $$200\sin^2\alpha \ge 50.$$

Шаг 3. Делим обе части на 200: $$\sin^2\alpha \ge \dfrac{1}{4}.$$

Шаг 4. Так как угол $\alpha$ — половина угла между направлениями движения тел, он лежит в разумных физических пределах $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, где $\sin\alpha \ge 0$. Поэтому извлекаем корень без потери знака: $$\sin\alpha \ge \dfrac{1}{2}.$$

Шаг 5. На промежутке $[0^\circ,90^\circ]$ синус монотонно возрастает, поэтому неравенству $\sin\alpha \ge 1/2$ соответствуют углы $\alpha \ge 30^\circ$ (значение $\sin 30^\circ = 1/2$ — табличное). Наименьшее подходящее значение — $\alpha = 30^\circ$.

Шаг 6. В вопросе спрашивается не про $\alpha$, а про угол $2\alpha$ между телами. Поэтому наименьший искомый угол: $$2\alpha = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ.$$

Ответ: 60.

Типичные ошибки

• Перепутанное направление монотонности. Если синус возрастает, то минимальному значению функции соответствует минимальный угол, а не наоборот. Ошибка в этом месте — самая частая причина неверного ответа.
• Забытое условие на диапазон. В примере с дифракцией легко забыть проверить, что при выбранном периоде решётки второй максимум вообще существует (то есть $\sin\varphi \le 1$).
• Ответ не в тех единицах. Если спрашивают угол $2\alpha$, а найден только $\alpha$, ответ будет ровно вдвое меньше правильного — как в примере 2.
• Потеря знака при извлечении корня из $\sin^2\alpha$. Формально $\sin\alpha = \pm 1/2$, но физический смысл угла ограничивает область значений, и отрицательный корень не подходит.
• Решение уравнения вместо неравенства. Слова «не менее», «не более», «наименьший из возможных» указывают на неравенство; попытка сразу найти единственное числовое значение угла без учёта диапазона приводит к неполному или неверному ответу.
• Округление вместо точного значения. Если в процессе решения получается не табличное значение синуса (например, 0,49 вместо 0,5), стоит перепроверить арифметику — правильный ответ почти всегда даёт ровно табличный угол.
• Игнорирование целочисленных ограничений. Номер максимума $k$, число периодов и подобные величины должны быть натуральными числами; подстановка нецелого значения обычно сигнализирует об ошибке в предыдущих шагах.

На что обратить внимание на экзамене

Перечитайте условие и чётко определите, что именно является неизвестной величиной в формуле — сам угол или величина, через которую угол выражен (период, длина, скорость). Обратите внимание на формулировки «не менее», «не превосходит», «минимальный», «максимальный» — от них зависит, решаете вы уравнение или неравенство, и в какую сторону нужно двигать параметр. После получения числового значения синуса или косинуса проверьте, что оно совпадает с одним из табличных значений; если нет — ищите ошибку в подстановке. Обязательно сверяйте единицы измерения ответа с требованием задачи (градусы, а не радианы) и проверяйте, не спрашивают ли не сам вспомогательный угол, а удвоенный или иначе связанный с ним параметр. Наконец, всегда учитывайте физические ограничения на диапазон угла и на целочисленность вспомогательных величин — они часто и определяют, какое из двух формально возможных решений неравенства выбрать в качестве ответа.