Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

Нужно найти максимальный угол, при котором платформа разгоняется до скорости не менее 0,25 м/с.

Шаг 1: Подставляем известные значения в формулу для скорости платформы.

$$u = \frac{m}{m + M} v \cos \alpha$$

Подставляем $m = 80$ кг, $M = 400$ кг, $v = 3$ м/с:

$$u = \frac{80}{80 + 400} \cdot 3 \cdot \cos \alpha = \frac{80}{480} \cdot 3 \cdot \cos \alpha = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha$$

Шаг 2: Составляем неравенство.

По условию требуется $u \geq 0,25$:

$$\frac{1}{2} \cos \alpha \geq 0,25$$

Шаг 3: Решаем неравенство.

Умножим обе части на 2:

$$\cos \alpha \geq 0,5$$

На интервале $(0°; 90°)$ косинус убывает от 1 к 0. Косинус равен 0,5 при $\alpha = 60°$.

Поскольку косинус должен быть не меньше 0,5, а функция убывающая, получаем:

$$0° < \alpha \leq 60°$$

Шаг 4: Находим максимальный угол.

Максимальное значение угла, удовлетворяющее условию — это $\alpha = 60°$.