Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

Подставим известные значения в формулу для расстояния полёта. Нужно, чтобы мячик преодолел расстояние не менее 20 метров:

$$L \geq 20$$

$$\frac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha \geq 20$$

Подставляем $v_0 = 20$ м/с и $g = 10$ м/с²:

$$\frac{400}{10} \sin 2\alpha \geq 20$$

$$40 \sin 2\alpha \geq 20$$

$$\sin 2\alpha \geq \frac{1}{2}$$

Теперь решаем тригонометрическое неравенство. Синус равен $\frac{1}{2}$ при углах $30°$ и $150°$ (в диапазоне $0° \text{ до } 360°$). Синус больше или равен $\frac{1}{2}$ на отрезке от $30°$ до $150°$.

Следовательно:

$$30° \leq 2\alpha \leq 150°$$

Делим все части неравенства на 2:

$$15° \leq \alpha \leq 75°$$

Так как угол бросания острый и лежит в интервале $(0°; 90°)$, наименьшее значение угла, при котором мячик перелетит реку, составляет $\alpha = 15°$.