ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства2.1.4 Тригонометрические уравнения

Два тела массой m=2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v =10 м/с под углом 2 альфа друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа . Под каким наименьшим углом 2 альфа (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Подставить параметры в формулу энергии, решить неравенство для sin⁡2α\sin^2\alpha, учитывая диапазон угла, и найти минимальное значение 2α2\alpha из условия на α\alpha.

Подставим известные значения в формулу энергии. Дано: m=2m = 2 кг, v=10v = 10 м/с, требуется Q≥50Q \geq 50 Дж.

Q=mv2sin⁡2α≥50Q = mv^2\sin^2\alpha \geq 50

2⋅102⋅sin⁡2α≥502 \cdot 10^2 \cdot \sin^2\alpha \geq 50

200sin⁡2α≥50200\sin^2\alpha \geq 50

sin⁡2α≥14\sin^2\alpha \geq \frac{1}{4}

Поскольку угол 2α2\alpha находится в диапазоне (0°;180°](0°; 180°], то α∈(0°;90°]\alpha \in (0°; 90°]. В этом диапазоне синус положительный, поэтому из sin⁡2α≥14\sin^2\alpha \geq \frac{1}{4} получаем:

sin⁡α≥12\sin\alpha \geq \frac{1}{2}

На интервале (0°;90°](0°; 90°] это неравенство выполняется при:

α≥30°\alpha \geq 30°

Таким образом, α\alpha должен быть не менее 30°30°. Угол между телами равен 2α2\alpha, поэтому наименьшее значение:

2α=2⋅30°=60°2\alpha = 2 \cdot 30° = 60°

Типичные ошибки

  • Забыть, что ищется угол 2α2\alpha, а не α\alpha: ответ должен быть 60°60°, а не 30°30°
  • Неправильно раскрыть неравенство sin⁡2α≥14\sin^2\alpha \geq \frac{1}{4} — забыть взять корень или ошибиться в знаке при переходе к sin⁡α\sin\alpha
  • Не учесть ограничение на диапазон α\alpha и неправильно применить решение sin⁡α≥12\sin\alpha \geq \frac{1}{2}
Непонятно?

Похожие задачи