Задача 28008. Тригонометрические уравнения и неравенства

Из условия дифракции имеем формулу $d \sin \varphi = k\lambda$. Нужно найти минимальный угол $\varphi$ для наблюдения второго максимума ($k = 2$) при $\lambda = 400$ нм и периоде решётки, не превосходящем 1600 нм.

Шаг 1. Выразим период решётки через угол: $$d = \frac{k\lambda}{\sin \varphi} = \frac{2 \cdot 400}{\sin \varphi} = \frac{800}{\sin \varphi}$$

Почему так: это просто перестановка исходной формулы дифракции.

Шаг 2. Применим ограничение $d \le 1600$ нм: $$\frac{800}{\sin \varphi} \le 1600$$

Почему это неравенство: период не может быть больше 1600 нм по условию задачи.

Шаг 3. Решим неравенство. Разделим обе части на 800 (положительное число, знак не меняется): $$\frac{1}{\sin \varphi} \le 2$$

Шаг 4. Инвертируем дробь (при положительных числах неравенство меняет знак): $$\sin \varphi \ge \frac{1}{2}$$

Шаг 5. На интервале $(0°; 90°)$ условие $\sin \varphi \ge \frac{1}{2}$ выполняется при $\varphi \ge 30°$, так как $\sin 30° = \frac{1}{2}$.

Почему 30°: это табличное значение синуса; при увеличении угла от 0° до 90° синус монотонно возрастает.

Вывод: минимальный угол, при котором можно наблюдать второй максимум, равен 30°.