Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

Нужно найти, какую часть первой секунды скорость была не менее 2,5 см/с.

Шаг 1: Составим неравенство

По условию $v(t) = 5\sin(\pi t)$. Требуем: $$5\sin(\pi t) \geq 2,5$$

Шаг 2: Упростим

Делим обе части на 5: $$\sin(\pi t) \geq 0,5$$

Шаг 3: Решим тригонометрическое неравенство

Нужно найти, когда синус аргумента $\pi t$ не меньше $0,5$. Синус принимает значение $0,5$ при углах $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ (на промежутке $[0; \pi]$). На этом промежутке синус $\geq 0,5$ между этими значениями: $$\frac{\pi}{6} \leq \pi t \leq \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 4: Выразим время $t$

Делим все части неравенства на $\pi$: $$\frac{1}{6} \leq t \leq \frac{5}{6}$$

Оба значения лежат в промежутке $[0; 1]$ (первая секунда), так что решение корректно.

Шаг 5: Найдём длину отрезка времени

Длительность периода, когда скорость была достаточной: $$\Delta t = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 6: Выразим долю

Доля от первой секунды (всего 1 секунда): $$\frac{2}{3} = 0,666... \approx 0,67$$