Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

Разберёмся, что требует задача. Мячик должен пролететь над стеной высотой 4 м. Это значит, что максимальная высота полёта должна быть не меньше 4 м. Подставим данные: $v_0 = 20$ м/с, $g = 10$ м/с².

Шаг 1. Запишем условие для высоты: $$H = \frac{20^2}{4 \cdot 10}(1 - \cos 2\alpha) = \frac{400}{40}(1 - \cos 2\alpha) = 10(1 - \cos 2\alpha)$$

Нам нужно $H \geq 4$: $$10(1 - \cos 2\alpha) \geq 4$$

Шаг 2. Разделим обе части на 10: $$1 - \cos 2\alpha \geq 0,4$$

Шаг 3. Перенесём косинус: $$\cos 2\alpha \leq 0,6$$

Одна секунда — в условии высота стены 4 м, но нужно учесть, что она находится на расстоянии 1 м. Это означает, что нам нужна высота 5 м (стена 4 м + запас). Переделаем: $$10(1 - \cos 2\alpha) \geq 5$$ $$1 - \cos 2\alpha \geq 0,5$$ $$\cos 2\alpha \leq 0,5$$

Шаг 4. Решаем неравенство $\cos 2\alpha \leq 0,5$ для $0° < \alpha < 90°$, то есть $0° < 2\alpha < 180°$.

Косинус равен $0,5$ при $2\alpha = 60°$. На диапазоне $(0°; 180°)$ неравенство $\cos 2\alpha \leq 0,5$ выполняется при $60° \leq 2\alpha < 180°$.

Шаг 5. Разделим на 2: $$30° \leq \alpha < 90°$$

Наименьшее значение $\alpha = 30°$.