ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства

Задача 28003. Тригонометрические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства2.1.4 Тригонометрические уравнения

Небольшой мячик бросают под острым углом альфа к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H= дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: 4g конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 2 альфа правая круглая скобка , где v _0 = 20 м/с  — начальная скорость мячика, а g  — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с в квадрате ). При каком наименьшем значении угла альфа (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Подставить параметры в формулу высоты, составить неравенство H≥5H \geq 5 и решить его относительно угла, используя свойства косинуса.

Разберёмся, что требует задача. Мячик должен пролететь над стеной высотой 4 м. Это значит, что максимальная высота полёта должна быть не меньше 4 м. Подставим данные: v0=20v_0 = 20 м/с, g=10g = 10 м/с².

Шаг 1. Запишем условие для высоты: H=2024⋅10(1−cos⁡2α)=40040(1−cos⁡2α)=10(1−cos⁡2α)H = \frac{20^2}{4 \cdot 10}(1 - \cos 2\alpha) = \frac{400}{40}(1 - \cos 2\alpha) = 10(1 - \cos 2\alpha)

Нам нужно H≥4H \geq 4: 10(1−cos⁡2α)≥410(1 - \cos 2\alpha) \geq 4

Шаг 2. Разделим обе части на 10: 1−cos⁡2α≥0,41 - \cos 2\alpha \geq 0,4

Шаг 3. Перенесём косинус: cos⁡2α≤0,6\cos 2\alpha \leq 0,6

Одна секунда — в условии высота стены 4 м, но нужно учесть, что она находится на расстоянии 1 м. Это означает, что нам нужна высота 5 м (стена 4 м + запас). Переделаем: 10(1−cos⁡2α)≥510(1 - \cos 2\alpha) \geq 5 1−cos⁡2α≥0,51 - \cos 2\alpha \geq 0,5 cos⁡2α≤0,5\cos 2\alpha \leq 0,5

Шаг 4. Решаем неравенство cos⁡2α≤0,5\cos 2\alpha \leq 0,5 для 0°<α<90°0° < \alpha < 90°, то есть 0°<2α<180°0° < 2\alpha < 180°.

Косинус равен 0,50,5 при 2α=60°2\alpha = 60°. На диапазоне (0°;180°)(0°; 180°) неравенство cos⁡2α≤0,5\cos 2\alpha \leq 0,5 выполняется при 60°≤2α<180°60° \leq 2\alpha < 180°.

Шаг 5. Разделим на 2: 30°≤α<90°30° \leq \alpha < 90°

Наименьшее значение α=30°\alpha = 30°.

Типичные ошибки

  • Забыть, что высота должна быть 5 м, а не 4 м (нужно преодолеть стену плюс запас)
  • Неправильно решить неравенство cos⁡2α≤0,5\cos 2\alpha \leq 0,5, забыв про диапазон угла
  • Подставить значения в формулу неправильно или неверно вычислить коэффициент перед скобкой

Ещё задачи этой подтемы