ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства2.1.4 Тригонометрические уравнения

Плоский замкнутый контур площадью S = 0,5 м в квадрате находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \mathcal E_i = aS косинус альфа , где α  — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка Тл/с  — постоянная, S  — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле  (в  м2). При каком минимальном угле α  (в  градусах) ЭДС индукции не будет превышать 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка В ?

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Неравенство для ЭДС приводится к неравенству cos⁡α≤12\cos\alpha \leq \frac{1}{2}, решение которого на острых углах — угол не менее 60°.

Подставим известные значения в формулу ЭДС индукции и составим неравенство.

Шаг 1. Подставим данные в формулу: Ei=aScos⁡α\mathcal{E}_i = aS\cos\alpha 4×10−4×0,5×cos⁡α≤10−44 \times 10^{-4} \times 0,5 \times \cos\alpha \leq 10^{-4}

Это требуемое условие: ЭДС не должна превышать 10−410^{-4} В.

Шаг 2. Упростим левую часть: 4×0,5×10−4×cos⁡α≤10−44 \times 0,5 \times 10^{-4} \times \cos\alpha \leq 10^{-4} 2×10−4×cos⁡α≤10−42 \times 10^{-4} \times \cos\alpha \leq 10^{-4}

Шаг 3. Разделим обе части на 10−410^{-4} (положительное число, знак не меняется): 2cos⁡α≤12\cos\alpha \leq 1 cos⁡α≤12\cos\alpha \leq \frac{1}{2}

Шаг 4. Решаем тригонометрическое неравенство на интервале (0°;90°)(0°; 90°). Косинус убывает на этом интервале. Знаем, что cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}.

Если cos⁡α≤12\cos\alpha \leq \frac{1}{2} и 0°<α<90°0° < \alpha < 90°, то: 60°≤α<90°60° \leq \alpha < 90°

Шаг 5. Минимальный угол из этого диапазона равен 60°.

Типичные ошибки

  • Ошибка в делении на 10−410^{-4}: забывают, что это положительное число, и знак неравенства сохраняется
  • Путают, что ищется минимальный угол (60°), а не максимальный, или неправильно читают интервал решения
  • Неправильно применяют свойства косинуса: забывают, что косинус убывает на (0°;90°)(0°; 90°), и дают ответ с противоположным знаком неравенства
Непонятно?

Похожие задачи