ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства2.1.4 Тригонометрические уравнения

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Н умножить на м), определяется формулой M = NIBl в квадрате синус альфа , где I = 2A  — сила тока в рамке, B = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка Тл  — значение индукции магнитного поля, l =0,5 м  — размер рамки, N = 1000  — число витков провода в рамке, альфа   — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла альфа (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Н умножить на м?

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Подставить параметры в формулу момента силы, составить неравенство sin⁡α≥0,5\sin\alpha \geq 0{,}5 и найти наименьший острый угол, удовлетворяющий этому условию.

Подставим все известные величины в формулу момента силы и составим неравенство, так как рамка начнёт вращаться при M≥0,75M \geq 0{,}75 Н·м:

NIBl2sin⁡α≥0,75NIBl^2 \sin\alpha \geq 0{,}75

Подставляем числовые значения: N=1000N = 1000, I=2I = 2 А, B=3×10−3B = 3 \times 10^{-3} Тл, l=0,5l = 0{,}5 м:

1000⋅2⋅3×10−3⋅(0,5)2⋅sin⁡α≥0,751000 \cdot 2 \cdot 3 \times 10^{-3} \cdot (0{,}5)^2 \cdot \sin\alpha \geq 0{,}75

Вычислим коэффициент перед синусом: 1000⋅2⋅3×10−3⋅0,25=2000⋅0,003⋅0,25=6⋅0,25=1,51000 \cdot 2 \cdot 3 \times 10^{-3} \cdot 0{,}25 = 2000 \cdot 0{,}003 \cdot 0{,}25 = 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5

Получаем: 1,5sin⁡α≥0,751{,}5\sin\alpha \geq 0{,}75

Делим обе части на 1,5: sin⁡α≥0,5\sin\alpha \geq 0{,}5

Так как угол α\alpha острый (то есть 0°<α<90°0° < \alpha < 90°), на этом интервале синус монотонно возрастает. Нам нужно найти наименьшее значение α\alpha, при котором sin⁡α=0,5\sin\alpha = 0{,}5.

Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5.

Следовательно, рамка начнёт вращаться при α≥30°\alpha \geq 30°. Наименьшее значение угла равно 30°.

Типичные ошибки

  • Неправильный расчёт произведения NIBl2NIBl^2: забывают возвести ll в квадрат или ошибаются с умножением на степень 10
  • Решение уравнения sin⁡α=0,5\sin\alpha = 0{,}5 — выдают угол 150° вместо 30° или 60° вместо 30°
  • Забывают, что в задаче нужен наименьший угол, и указывают неправильный интервал значений α\alpha
Непонятно?

Похожие задачи