ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства2.1.4 Тригонометрические уравнения

Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 5 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол альфа с направлением движения шарика. Значение индукции поля B = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F_л = q v B синус альфа (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов ;180 градусов правая квадратная скобка шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F_л была не менее чем 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка Н? Ответ дайте в градусах.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Неравенство для силы Лоренца сводится к условию sin⁡α≥12\sin\alpha \geq \frac{1}{2}, минимальный угол в допустимом диапазоне — это 30°.

Шарик оторвётся от поверхности, когда сила Лоренца достигнет минимально необходимого значения. Составим неравенство:

Fл=qvBsin⁡α≥2×10−8F_л = qvB\sin\alpha \geq 2 \times 10^{-8}

Подставим известные значения: q=2×10−6q = 2 \times 10^{-6} Кл, v=5v = 5 м/с, B=4×10−3B = 4 \times 10^{-3} Тл:

2×10−6⋅5⋅4×10−3⋅sin⁡α≥2×10−82 \times 10^{-6} \cdot 5 \cdot 4 \times 10^{-3} \cdot \sin\alpha \geq 2 \times 10^{-8}

Упростим левую часть: 2⋅5⋅4×10−6−3⋅sin⁡α=40×10−9⋅sin⁡α=4×10−8⋅sin⁡α2 \cdot 5 \cdot 4 \times 10^{-6-3} \cdot \sin\alpha = 40 \times 10^{-9} \cdot \sin\alpha = 4 \times 10^{-8} \cdot \sin\alpha

Получаем: 4×10−8⋅sin⁡α≥2×10−84 \times 10^{-8} \cdot \sin\alpha \geq 2 \times 10^{-8}

Делим обе части на 4×10−84 \times 10^{-8}: sin⁡α≥12\sin\alpha \geq \frac{1}{2}

На интервале [0°;180°][0°; 180°] синус равен 12\frac{1}{2} при α=30°\alpha = 30° и α=150°\alpha = 150°. Неравенство sin⁡α≥12\sin\alpha \geq \frac{1}{2} выполняется для всех углов в диапазоне [30°;150°][30°; 150°].

Следовательно, наименьшее значение угла, при котором шарик оторвётся, равно 30°.

Типичные ошибки

  • Забыли возвести 10 в степень при умножении: важно правильно складывать показатели степеней (10−6×10−3=10−910^{-6} \times 10^{-3} = 10^{-9})
  • Решили только уравнение sin⁡α=12\sin\alpha = \frac{1}{2} и не учли, что нужно наименьшее значение угла из диапазона решений неравенства
  • Нашли оба корня (30° и 150°), но не проверили, какой из них меньше, или перепутали порядок на интервале [0°; 180°]
Непонятно?

Похожие задачи