ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Тригонометрические уравнения и неравенства2.1.4 Тригонометрические уравнения

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка , где t  — время в секундах, амплитуда U0  =  2 В, частота ω  =  120°/с, фаза φ  =  –30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Нужно решить тригонометрическое неравенство sin⁡(120°t−30°)≥12\sin(120°t - 30°) \geq \frac{1}{2} и найти, какую часть первой секунды занимает множество решений.

Лампочка загорается, когда U≥1U \geq 1 В. Подставляем формулу и известные значения:

2sin⁡(120°t−30°)≥12\sin(120°t - 30°) \geq 1

Шаг 1. Разделим обе части на 2: sin⁡(120°t−30°)≥12\sin(120°t - 30°) \geq \frac{1}{2}

Шаг 2. Синус принимает значения, большие или равные 12\frac{1}{2}, когда аргумент лежит в диапазоне [30°+360°n;150°+360°n][30° + 360°n; 150° + 360°n] для целых nn. Составляем систему: {120°t−30°≥30°+360°n120°t−30°≤150°+360°n\begin{cases} 120°t - 30° \geq 30° + 360°n \\ 120°t - 30° \leq 150° + 360°n \end{cases}

Шаг 3. Прибавим 30° к обеим частям: {120°t≥60°+360°n120°t≤180°+360°n\begin{cases} 120°t \geq 60° + 360°n \\ 120°t \leq 180° + 360°n \end{cases}

Шаг 4. Разделим на 120°: {t≥0,5+3nt≤1,5+3n\begin{cases} t \geq 0,5 + 3n \\ t \leq 1,5 + 3n \end{cases}

Шаг 5. Ищем пересечение с интервалом [0;1][0; 1] секунда. При n=0n = 0: условия дают 0,5≤t≤1,50,5 \leq t \leq 1,5. С учётом ограничения 0≤t≤10 \leq t \leq 1 получаем 0,5≤t≤10,5 \leq t \leq 1.

Шаг 6. При n=−1n = -1 или n=1n = 1 полученные интервалы выходят за границы [0;1][0; 1].

Шаг 7. Длительность горения лампочки: 1−0,5=0,51 - 0,5 = 0,5 секунды из 1 секунды.

Шаг 8. В процентах: 0,51×100%=50%\frac{0,5}{1} \times 100\% = 50\%

Типичные ошибки

  • Забыть разделить на амплитуду 2 и решать неравенство для синуса без упрощения
  • Ошибиться в границах решения синусного неравенства: спутать 30°30° и 150°150° с другими углами
  • Неправильно пересечь найденные интервалы с диапазоном [0;1][0; 1] или забыть перевести время в проценты
Непонятно?

Похожие задачи