Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Шаг 1: Выразим выручку через цену.

Подставим формулу спроса в формулу выручки: $$r(p) = q \cdot p = (100 - 10p) \cdot p = 100p - 10p^2$$

Получена квадратичная функция выручки.

Шаг 2: Составим неравенство для условия задачи.

Нужно найти цены, при которых выручка не менее 240 тыс. руб.: $$100p - 10p^2 \geq 240$$

Шаг 3: Приведём неравенство к стандартному виду.

Перенесём 240 влево и перепишем: $$-10p^2 + 100p - 240 \geq 0$$

Умножим на $-1$ (знак неравенства меняется): $$10p^2 - 100p + 240 \leq 0$$

Разделим на 10: $$p^2 - 10p + 24 \leq 0$$

Шаг 4: Найдём корни квадратного уравнения.

Решим $p^2 - 10p + 24 = 0$ через дискриминант или разложение: $$p^2 - 10p + 24 = (p - 4)(p - 6) = 0$$

Корни: $p_1 = 4$ и $p_2 = 6$.

Шаг 5: Определим промежуток решения.

Парабола $y = p^2 - 10p + 24$ ветвями вверх. Неравенство $p^2 - 10p + 24 \leq 0$ выполняется между корнями: $$4 \leq p \leq 6$$

Шаг 6: Выберем наибольшую цену.

Наибольшее значение $p$ из допустимого диапазона — это $p = 6$ тыс. руб.