Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Подставим формулу спроса в выражение для выручки.

Выручка $r(p) = p \cdot q = p(80 - 5p) = 80p - 5p^2$.

По условию месячная выручка составляет 300 тыс. руб., поэтому решаем уравнение: $$80p - 5p^2 = 300$$

Перенесём всё в одну сторону и упростим: $$-5p^2 + 80p - 300 = 0$$

Разделим обе части на $-5$ (знак неравенства не меняется, так как это уравнение): $$p^2 - 16p + 60 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или подбор: $$D = 256 - 240 = 16$$ $$p = \frac{16 \pm 4}{2}$$

Получаем два решения: $p_1 = 10$ и $p_2 = 6$.

Оба значения цены дают одинаковую выручку 300 тыс. руб. (при $p = 10$: $q = 80 - 50 = 30$, $r = 10 \cdot 30 = 300$; при $p = 6$: $q = 80 - 30 = 50$, $r = 6 \cdot 50 = 300$).

По условию требуется найти наибольшую цену, поэтому выбираем $p = 10$ тыс. руб.