Задача 500252. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Найдём моменты времени, когда камень достигал высоты ровно 9 метров. Подставим в формулу $h(t) = -5t^2 + 18t$ условие $h(t) = 9$:

$$-5t^2 + 18t = 9$$

$$-5t^2 + 18t - 9 = 0$$

Умножим на $-1$:

$$5t^2 - 18t + 9 = 0$$

Решаем через дискриминант:

$$D = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 324 - 180 = 144 = 12^2$$

$$t = \frac{18 \pm 12}{10}$$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{18 - 12}{10} = 0,6$ (с) и $t_2 = \frac{18 + 12}{10} = 3$ (с).

Парабола $h(t) = -5t^2 + 18t$ открывается ветвями вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный). Функция достигает нулевого значения при $t = 0$ (начальный момент) и $t = 3,6$ (момент падения на землю). Значит, на интервале $(0,6; 3)$ камень находится выше отметки 9 метров. Длительность этого интервала:

$$3 - 0,6 = 2,4 \text{ (с)}$$