ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства2.1.1 Квадратные уравнения

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0, где H_0 = 4  — начальный уровень воды, a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби м/мин2 и b= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби м/мин  — постоянные, t  — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: Вода полностью вытечет, когда высота столба обратится в нуль; нужно решить квадратное уравнение H(t)=0H(t) = 0, приведя его к стандартному виду и заметив полный квадрат.

Подставим коэффициенты в формулу для высоты столба воды: H(t)=1100t2−25t+4H(t) = \frac{1}{100}t^2 - \frac{2}{5}t + 4

Преобразуем дроби в десятичные: 1100=0,01\frac{1}{100} = 0,01 и 25=0,4\frac{2}{5} = 0,4, поэтому: H(t)=0,01t2−0,4t+4H(t) = 0,01t^2 - 0,4t + 4

Вода полностью вытечет из бака, когда высота станет равна нулю. Решаем уравнение: 0,01t2−0,4t+4=00,01t^2 - 0,4t + 4 = 0

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей: t2−40t+400=0t^2 - 40t + 400 = 0

Это уравнение можно распознать как полный квадрат: t2−40t+400=(t−20)2=0t^2 - 40t + 400 = (t - 20)^2 = 0

Таким образом: t=20t = 20

Проверка: при t=20t = 20 получаем H(20)=0,01⋅400−0,4⋅20+4=4−8+4=0H(20) = 0,01 \cdot 400 - 0,4 \cdot 20 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 ✓

Ответ: вода вытекает в течение 20 минут.

Типичные ошибки

  • Забыли привести коэффициенты к десятичным дробям перед подстановкой и не учли это при составлении уравнения
  • Не умножили уравнение на 100, попытались решать с десятичными коэффициентами и ошиблись в вычислениях
  • Получили корни t=0t = 0 и t=20t = 20, но забыли, что t=0t = 0 — это момент открытия крана, а не время вытекания
Непонятно?

Похожие задачи