Задача 27963. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Подставляем известные значения в формулу угла поворота катушки. Дано: $\omega = 20$ град/мин, $\beta = 4$ град/мин², $\varphi \leq 1200$ град.

Подставляем в исходное уравнение: $$\varphi = 20t + \frac{4t^2}{2} = 20t + 2t^2$$

Условие: угол не должен превышать 1200°, поэтому составляем неравенство: $$2t^2 + 20t \leq 1200$$

Делим обе части на 2 (для упрощения): $$t^2 + 10t \leq 600$$

Переносим всё в левую часть: $$t^2 + 10t - 600 \leq 0$$

Решаем квадратное уравнение $t^2 + 10t - 600 = 0$ через дискриминант: $$D = 100 + 2400 = 2500 = 50^2$$

Корни: $$t_1 = \frac{-10 - 50}{2} = -30, \quad t_2 = \frac{-10 + 50}{2} = 20$$

Парабола ветвями вверх, поэтому $t^2 + 10t - 600 \leq 0$ при $-30 \leq t \leq 20$.

Поскольку время — неотрицательная величина, берём $0 \leq t \leq 20$ мин.

Рабочий должен проверить работу не позже чем через 20 минут, когда угол намотки ровно достигнет 1200°.