ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Задача 27964. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства2.1.1 Квадратные уравнения

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью υ0  =  57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a  =  12 км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: Нужно найти максимальное время, при котором расстояние не превышает 30 км — это верхний корень квадратного неравенства в допустимой области t≥0t \geq 0, который затем переводится из часов в минуты.

Шаг 1: Составим неравенство для нахождения времени в зоне покрытия

Мотоциклист находится в зоне сотовой связи, пока расстояние до города не превышает 30 км. Подставим S=30S = 30 в формулу: 57t+12t22≤3057t + \frac{12t^2}{2} \leq 30

Шаг 2: Упростим неравенство

Упростим 12t22=6t2\frac{12t^2}{2} = 6t^2: 6t2+57t≤306t^2 + 57t \leq 30

Перенесём всё в левую часть: 6t2+57t−30≤06t^2 + 57t - 30 \leq 0

Шаг 3: Разделим на 3, чтобы упростить коэффициенты

2t2+19t−10≤02t^2 + 19t - 10 \leq 0

Шаг 4: Найдём корни квадратного уравнения

Используем дискриминант: D=192−4⋅2⋅(−10)=361+80=441=212D = 19^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 361 + 80 = 441 = 21^2

Корни: t=−19±214t = \frac{-19 \pm 21}{4}

t1=−19−214=−404=−10t_1 = \frac{-19 - 21}{4} = \frac{-40}{4} = -10

t2=−19+214=24=0,5t_2 = \frac{-19 + 21}{4} = \frac{2}{4} = 0,5

Шаг 5: Определим интервал решения

Парабола 2t2+19t−102t^2 + 19t - 10 направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: −10≤t≤0,5-10 \leq t \leq 0,5

Шаг 6: Учтём физический смысл

Время не может быть отрицательным, поэтому 0≤t≤0,50 \leq t \leq 0,5 часа.

Преобразуем в минуты: 0,5 ч=0,5×60=300,5 \text{ ч} = 0,5 \times 60 = 30 минут.

Типичные ошибки

  • Забыли учесть, что время не может быть отрицательным — нужно выбрать только положительный корень из интервала
  • Не перевели ответ из часов в минуты (забыли умножить на 60)
  • Ошибка при раскрытии скобок в неравенстве или в вычислении дискриминанта

Ещё задачи этой подтемы