ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства2.1.1 Квадратные уравнения

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 10 см, и двух боковых с массами M = 1 кг и с радиусами R плюс h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг умножить на см в квадрате , даeтся формулой I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг умножить на см в квадрате ? Ответ выразите в сантиметрах.

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: Подставить параметры в формулу момента инерции, составить квадратное неравенство и найти его максимальное положительное решение.

Подставим известные значения в формулу момента инерции. Дано: m=8m = 8 кг, M=1M = 1 кг, R=10R = 10 см, I≤625I \leq 625 кг·см².

I=(m+2M)R22+M(2Rh+h2)I = \frac{(m + 2M)R^2}{2} + M(2Rh + h^2)

Подставляем числа: I=(8+2⋅1)⋅1022+1⋅(2⋅10⋅h+h2)I = \frac{(8 + 2 \cdot 1) \cdot 10^2}{2} + 1 \cdot (2 \cdot 10 \cdot h + h^2)

I=10⋅1002+20h+h2=500+20h+h2I = \frac{10 \cdot 100}{2} + 20h + h^2 = 500 + 20h + h^2

Составляем неравенство: 500+20h+h2≤625500 + 20h + h^2 \leq 625

h2+20h+500−625≤0h^2 + 20h + 500 - 625 \leq 0

h2+20h−125≤0h^2 + 20h - 125 \leq 0

Найдём корни квадратного уравнения h2+20h−125=0h^2 + 20h - 125 = 0 по формуле дискриминанта: D=202−4⋅1⋅(−125)=400+500=900D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900

h=−20±9002=−20±302h = \frac{-20 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-20 \pm 30}{2}

Получаем два корня:

  • h1=−20+302=5h_1 = \frac{-20 + 30}{2} = 5
  • h2=−20−302=−25h_2 = \frac{-20 - 30}{2} = -25

Парабола y=h2+20h−125y = h^2 + 20h - 125 ветвями вверх, поэтому неравенство h2+20h−125≤0h^2 + 20h - 125 \leq 0 имеет решение на отрезке [−25;5][-25; 5].

Поскольку физически размер hh должен быть положительным (это радиус цилиндра), берём максимальное значение из допустимого диапазона: h=5h = 5 см.

Типичные ошибки

  • Забывают упростить первое слагаемое формулы перед подстановкой: (8+2)⋅100/2=500(8+2)·100/2 = 500, а не оставляют его в буквенном виде
  • Ошибка в раскрытии скобок при переносе 625: получают h2+20h+125=0h^2 + 20h + 125 = 0 вместо h2+20h−125=0h^2 + 20h - 125 = 0
  • Выбирают отрицательный корень h=−25h = -25 как ответ, не учитывая физический смысл (длина не может быть отрицательной)
Непонятно?

Похожие задачи