Задание 11 ЕГЭ: показательные и логарифмические функции на графике

О чём эта подтема

В задании 11 профильного ЕГЭ часто встречаются графики показательных функций вида $y=a^x$ и логарифмических функций вида $y=\log_a x$, а также их модификации со сдвигами, например $f(x)=b+\log_a x$. По рисунку нужно восстановить неизвестные параметры функции (обычно это основание $a$ и коэффициент сдвига $b$), а затем вычислить конкретное значение — либо $f(x_0)$ для заданного $x_0$, либо найти $x$, при котором $f(x)$ принимает заданное значение.

Задача не требует сложных вычислений — она проверяет, насколько хорошо ты понимаешь свойства показательной и логарифмической функций, умеешь читать график и решать простейшие уравнения с логарифмами. Сложность обычно не в математике, а в аккуратности: правильно снять координаты точек с рисунка и не перепутать, что откладывается по осям.

Что нужно знать

Для решения этой подтемы достаточно твёрдо знать несколько фактов.

Показательная функция $y=a^x$, где $a>0,\ a\neq 1$:

• область определения — все действительные числа;
• область значений — $(0;+\infty)$;
• график всегда проходит через точку $(0;1)$, так как $a^0=1$;
• если $a>1$ — функция возрастает, если $0<a<1$ — убывает.

Логарифмическая функция $y=\log_a x$, где $a>0,\ a\neq 1$:

• область определения — $(0;+\infty)$;
• область значений — все действительные числа;
• график всегда проходит через точку $(1;0)$, так как $\log_a 1=0$;
• вертикальная асимптота — прямая $x=0$;
• если $a>1$ — функция возрастает, если $0<a<1$ — убывает.

Важно помнить, что графики $y=a^x$ и $y=\log_a x$ симметричны относительно прямой $y=x$ — это функции, обратные друг другу.

Ключевые свойства логарифмов, которые пригодятся при составлении и решении уравнений: $$\log_a a = 1, \qquad \log_a 1 = 0, \qquad \log_a(a^k)=k,$$ $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \qquad \log_a x^k=k\log_a x.$$

Если в условии дана функция вида $f(x)=b+\log_a x$, то $b$ — это вертикальный сдвиг графика $\log_a x$ вверх (если $b>0$) или вниз (если $b<0$). При $x=1$ значение функции равно именно $b$, так как $\log_a 1=0$.

Ещё нужно уметь читать координаты точек на клетчатом графике: определять, где график пересекает линии сетки в целых точках, и не путать, какая координата — абсцисса, а какая — ордината.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определи вид функции по формуле в условии — выясни, какие параметры неизвестны (обычно основание $a$ и сдвиг $b$).
2. Найди на графике две точки с удобными, чаще всего целочисленными координатами — обычно это точки пересечения кривой с линиями клетчатой сетки.
3. Подставь координаты каждой точки в формулу функции — получится система из двух уравнений с двумя неизвестными.
4. Реши систему. Часто удобно вычесть одно уравнение из другого — так неизвестное $b$ сокращается, и остаётся уравнение только с $a$, которое решается через свойства логарифмов.
5. Подставь найденные параметры в исходную формулу функции.
6. Вычисли искомую величину — либо значение функции в заданной точке, либо реши уравнение $f(x)=y_0$ относительно $x$.
7. Проверь себя, подставив найденные параметры обратно в исходные точки графика — равенства должны выполняться.

Этот алгоритм работает для любых заданий такого типа: разница только в конкретных числах и в том, что именно нужно найти — значение функции или значение аргумента.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён график функции $f(x)=b+\log_a x$. Известно, что график проходит через точки с координатами $(1;-3)$ и $(2;-2)$. Найдите $f(32)$.

Шаг 1. Записываем систему уравнений, подставляя координаты точек в формулу функции: $$f(1)=b+\log_a 1 = -3,$$ $$f(2)=b+\log_a 2 = -2.$$

Шаг 2. Так как $\log_a 1=0$ при любом допустимом $a$, из первого уравнения сразу получаем $$b=-3.$$

Шаг 3. Подставляем $b=-3$ во второе уравнение: $$-3+\log_a 2=-2 \ \Rightarrow\ \log_a 2=1.$$

Это означает, что $a^1=2$, то есть $a=2$.

Шаг 4. Функция полностью восстановлена: $$f(x)=-3+\log_2 x.$$

Шаг 5. Вычисляем $f(32)$: $$f(32)=-3+\log_2 32.$$

Так как $32=2^5$, то $\log_2 32=5$. Значит, $$f(32)=-3+5=2.$$

Проверка. Подставим найденные $a=2,\ b=-3$ обратно в исходные точки: $f(1)=-3+\log_2 1=-3+0=-3$ ✓; $f(2)=-3+\log_2 2=-3+1=-2$ ✓. Всё сходится, ответ: $f(32)=2$.

Пример 2. На рисунке изображён график функции $f(x)=b+\log_a x$. Известно, что график проходит через точки $(1;-1)$ и $(4;0)$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=1$.

Шаг 1. Составляем систему по координатам точек: $$f(1)=b+\log_a 1=-1,$$ $$f(4)=b+\log_a 4=0.$$

Шаг 2. Из первого уравнения, учитывая $\log_a 1=0$, сразу находим $$b=-1.$$

Шаг 3. Подставляем во второе уравнение: $$-1+\log_a 4=0 \ \Rightarrow\ \log_a 4=1 \ \Rightarrow\ a=4.$$

Шаг 4. Функция принимает вид: $$f(x)=-1+\log_4 x.$$

Шаг 5. Решаем уравнение $f(x)=1$: $$-1+\log_4 x=1 \ \Rightarrow\ \log_4 x=2 \ \Rightarrow\ x=4^2=16.$$

Проверка. $f(1)=-1+\log_4 1=-1+0=-1$ ✓; $f(4)=-1+\log_4 4=-1+1=0$ ✓; $f(16)=-1+\log_4 16=-1+2=1$ ✓. Ответ: $x=16$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала через точку с абсциссой $1$ находим $b$ (потому что $\log_a 1=0$ всегда), затем через вторую точку находим $a$, и только после этого решаем нужное уравнение.

Типичные ошибки

• Путаница координат. Часто ошибочно меняют местами $x$ и $y$ при снятии координат точки с графика, особенно если график крутой или точки расположены близко друг к другу.
• Неверный знак $b$. Если график сдвинут вниз, а не вверх, легко ошибиться со знаком при подстановке — важно смотреть, что происходит с графиком именно при $x=1$.
• Забывают, что $\log_a 1=0$. Это ключевое упрощение, которое сразу даёт значение $b$; без него система решается дольше и с большей вероятностью ошибки.
• Ошибки в свойствах логарифмов при переходе от $\log_a c=k$ к $a^k=c$ — путают, что возводится в степень: основание или число под логарифмом.
• Не проверяют область допустимых значений. Основание $a$ должно быть положительным и не равным единице; если в вычислениях получается $a\le 0$ или $a=1$, значит, где-то допущена ошибка.
• Вычислительные ошибки со степенями двойки, тройки, четвёрки и другими часто встречающимися основаниями — полезно заранее помнить таблицы степеней $2^k$, $3^k$, $4^k$ для небольших $k$.
• Подмена функции. Иногда путают показательную и логарифмическую функцию местами, особенно если график похож визуально, но подписан иначе в условии.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как решать, убедись, что правильно определил вид функции по формуле в условии — это данность, которую менять нельзя, в отличие от параметров.

Выбирай для составления уравнений точки с максимально «удобными» координатами — обычно это узлы сетки, где график пересекает горизонтальные и вертикальные линии в целых числах. Такие точки почти всегда явно видны на рисунке и предназначены именно для считывания.

После нахождения параметров $a$ и $b$ обязательно сделай обратную проверку — подставь их в обе исходные точки графика. Если хотя бы одно равенство не выполняется, значит, где-то была допущена арифметическая ошибка или неверно снята координата.

Следи за направлением монотонности графика: если функция возрастает, то большему $x$ должно соответствовать большее значение $f(x)$; такая быстрая прикидка помогает заметить грубую ошибку в вычислениях ещё до получения окончательного числового ответа.

Обращай внимание на то, что именно спрашивается в задаче: значение функции $f(x_0)$ или значение аргумента $x$ при заданном $f(x)=y_0$. Алгоритм восстановления параметров одинаковый, но последний шаг отличается — в одном случае подставляешь число вместо $x$, в другом — решаешь уравнение относительно $x$.

И наконец, не забывай про область определения: для логарифмической функции найденное значение $x$ обязано быть положительным, а для показательной функции значение $y=f(x)$ обязано быть положительным. Если полученный ответ нарушает эти условия, значит, в решении есть ошибка.