Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные и логарифмические функции

Шаг 1. Определяем точки на графике.

Из рисунка видно, что график проходит через две ясные точки: $f(-3) = 1$ и $f(1) = 4$. Эти координаты помогут найти параметры $a$ и $b$.

Шаг 2. Составляем систему уравнений.

Подставляем точки в формулу $f(x) = a^{x+b}$: $$\begin{cases} 1 = a^{-3+b} \\ 4 = a^{1+b} \end{cases}$$

Шаг 3. Решаем систему.

Из первого уравнения: $a^{-3+b} = 1$. Это возможно только если показатель равен нулю (при $a > 0, a \neq 1$), то есть $-3 + b = 0$, откуда $b = 3$.

Подставляем $b = 3$ во второе уравнение: $$a^{1+3} = 4$$ $$a^4 = 4$$ $$a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$

Шаг 4. Записываем функцию.

$$f(x) = (\sqrt{2})^{x+3}$$

Шаг 5. Решаем уравнение $f(x) = 16$.

$$(\sqrt{2})^{x+3} = 16$$

Преобразуем 16 как степень $\sqrt{2}$: заметим, что $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, поэтому $(\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.

Тогда: $$(\sqrt{2})^{x+3} = (\sqrt{2})^8$$

Поскольку основание одинаковое, приравниваем показатели: $$x + 3 = 8$$ $$x = 5$$