Задание 11 ЕГЭ профиль: графики функций — гиперболы, параболы, тригонометрия

Что проверяет задание

Задание 11 проверяет умение читать график функции и восстанавливать по нему аналитическую формулу или числовое значение. Экзаменатор смотрит, умеет ли ученик:

• узнавать по форме графика тип функции (линейная, квадратичная, гипербола, корень, тригонометрическая, показательная, логарифмическая);
• находить координаты характерных точек графика (пересечения с осями, вершина, точки перегиба, асимптоты);
• составлять уравнение функции по известным точкам и параметрам;
• вычислять значение функции в заданной точке или находить аргумент по значению функции;
• работать с комбинациями функций и точками пересечения нескольких графиков.

Задание не требует построения графика — только чтение уже готового рисунка и вычисления.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «На рисунке изображён график функции $f(x)=kx+b$ (или другой вид). Найдите $f(x_0)$» или «Найдите значение $x$, при котором $f(x)=y_0$», а также «Найдите абсциссу (ординату) точки пересечения графиков».

Особенности:

• всегда прилагается рисунок с координатной сеткой, по клеткам которой считываются координаты точек;
• ответ — целое число или конечная десятичная дробь;
• задание оценивается в 1 первичный балл;
• ошибка в счёте клеток на графике — самая частая причина потери балла, поэтому важна аккуратность.

Что нужно знать

• Линейная функция: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$.
• Формула углового коэффициента по двум точкам: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Квадратичная функция: $y = ax^2 + bx + c$, вершина параболы $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$.
• Гипербола: $y = \dfrac{k}{x} + b$ или $y = \dfrac{k}{x-a} + b$; асимптоты $x=a$, $y=b$.
• Функция корня: $y = \sqrt{x}$, область определения $x \ge 0$, монотонно возрастает.
• Тригонометрические функции: $y = A\sin(\omega x + \varphi) + D$, $y = A\cos(\omega x + \varphi) + D$; амплитуда $A$, период $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, сдвиг по вертикали $D$.
• Показательная функция: $y = a^x$ ($a>0,\ a\ne 1$), проходит через точку $(0;1)$, асимптота $y=0$.
• Логарифмическая функция: $y = \log_a x$, проходит через точку $(1;0)$, асимптота $x=0$; обратна показательной.
• Преобразования графиков: сдвиг на $c$ по оси $Ox$ — замена $x \to x-c$; сдвиг по $Oy$ на $d$ — прибавление $d$; растяжение/сжатие — коэффициент перед $x$ или перед функцией; отражение — знак минус.

Методы решения

1. Метод двух точек (линейная функция). Если по клеткам видно две точки графика, составляем систему для $k$ и $b$, либо сразу считаем $k$ как отношение изменения $y$ к изменению $x$.

Мини-пример: график проходит через $(0;1)$ и $(2;5)$. Тогда $k=\dfrac{5-1}{2-0}=2$, $b=1$, значит $f(x)=2x+1$.

2. Метод вершины (парабола). По графику находим вершину $(x_0;y_0)$ и ещё одну точку, подставляем в $y=a(x-x_0)^2+y_0$, находим $a$.

Мини-пример: вершина $(1;-4)$, график проходит через $(3;0)$. Тогда $0=a(3-1)^2-4 \Rightarrow 4a=4 \Rightarrow a=1$. Функция: $y=(x-1)^2-4$.

3. Метод асимптот (гипербола). Определяем вертикальную и горизонтальную асимптоты по рисунку — это сразу даёт $a$ и $b$ в формуле $y=\dfrac{k}{x-a}+b$, затем по одной точке находим $k$.

Мини-пример: асимптоты $x=0$, $y=1$, график проходит через $(1;3)$. Тогда $3=\dfrac{k}{1}+1 \Rightarrow k=2$, функция $y=\dfrac{2}{x}+1$.

4. Метод амплитуды и периода (тригонометрия). Находим по графику максимум и минимум — это даёт $A$ и $D$; находим расстояние между соседними максимумами — это период $T$, откуда $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.

Мини-пример: максимум $y=3$, минимум $y=-1$ ⇒ $A=2$, $D=1$; период $T=\pi$ ⇒ $\omega=2$. Функция вида $y=2\sin(2x+\varphi)+1$.

5. Метод контрольной точки (показательная и логарифмическая функции). Для $y=a^x$ или $y=\log_a x$ достаточно одной «удобной» точки с целыми координатами, чтобы найти основание $a$.

Мини-пример: график $y=a^x$ проходит через $(2;9)$. Тогда $a^2=9 \Rightarrow a=3$ (берём положительное значение), функция $y=3^x$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить вид функции по общей форме графика (прямая, парабола, гипербола, синусоида, экспонента, логарифм).
2. Выписать общий вид функции с параметрами, которые нужно найти.
3. Считать по клеткам координаты 2–3 характерных точек графика (пересечения с осями, вершину, экстремумы, асимптоты).
4. Подставить координаты в общую формулу и решить систему уравнений относительно параметров.
5. Записать окончательную формулу функции.
6. Подставить в неё нужное значение аргумента (или решить уравнение относительно $x$, если дано значение функции).
7. Проверить ответ, подставив обратно в формулу или сверив с графиком по клеткам.

Разбор примеров

Пример 1. На рисунке изображён график линейной функции $f(x)=kx+b$, проходящий через точки $(0;5)$ и $(1;8)$. Найдите $f(-5)$.

Шаг 1. Общий вид: $f(x)=kx+b$.

Шаг 2. Точка $(0;5)$ сразу даёт $b=5$.

Шаг 3. Находим $k$ по двум точкам: $k=\dfrac{8-5}{1-0}=3$.

Шаг 4. Получаем $f(x)=3x+5$.

Шаг 5. Подставляем $x=-5$: $f(-5)=3\cdot(-5)+5=-15+5=-10$.

Ответ: $-10$.

Пример 2. График линейной функции $f(x)=kx+b$ проходит через точки $(0;-3)$ и $(2;0)$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-13{,}5$.

Шаг 1. Из точки $(0;-3)$ получаем $b=-3$.

Шаг 2. Находим $k$: $k=\dfrac{0-(-3)}{2-0}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$.

Шаг 3. Формула функции: $f(x)=1{,}5x-3$.

Шаг 4. Решаем уравнение $1{,}5x-3=-13{,}5$: прибавляем 3 к обеим частям — $1{,}5x=-10{,}5$; делим на $1{,}5$ — $x=-7$.

Шаг 5. Проверка: $1{,}5\cdot(-7)-3=-10{,}5-3=-13{,}5$ — верно.

Ответ: $-7$.

Пример 3. На рисунке изображены графики двух линейных функций: $f(x)=x+3$ и $g(x)=-x-7$. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Шаг 1. Точка пересечения удовлетворяет обоим уравнениям одновременно, значит $f(x)=g(x)$.

Шаг 2. Составляем уравнение: $x+3=-x-7$.

Шаг 3. Переносим слагаемые: $x+x=-7-3 \Rightarrow 2x=-10$.

Шаг 4. Делим на 2: $x=-5$.

Шаг 5. Проверка через подстановку в обе функции: $f(-5)=-5+3=-2$; $g(-5)=-(-5)-7=5-7=-2$ — значения совпадают, точка пересечения $(-5;-2)$.

Ответ: $-5$.

Типичные ошибки и ловушки

• Неверный подсчёт клеток по осям — особенно если масштаб по $Ox$ и $Oy$ разный (например, одна клетка по вертикали равна не 1, а 2 единицам).
• Перепутанные оси или направление осей на нестандартных рисунках.
• Ошибка в знаке углового коэффициента: если прямая убывает слева направо, $k<0$.
• Для параболы — путаница между координатами вершины и точкой пересечения с осью $Oy$.
• Для гиперболы и логарифма — забывают учитывать сдвиг асимптоты, считая, что она всегда проходит через начало координат.
• Для тригонометрических графиков — неверно определяют период, путая расстояние между соседними нулями с полным периодом (оно равно половине периода).
• Арифметические ошибки при решении линейного уравнения относительно $x$ на последнем шаге.
• Забывают проверить ответ подстановкой — это быстро выявляет опечатки в вычислениях.

Как готовиться

• Повторить графики всех базовых функций и их стандартные виды: линейная, квадратичная, гипербола, корень, тригонометрические, показательная, логарифмическая.
• Отработать чтение координат по клетчатому полю: тренироваться быстро и точно определять целые и дробные координаты точек.
• Решить не менее 20–30 задач по каждому типу функции, начиная с простых (одна неизвестная) и переходя к комбинированным (две функции на одном рисунке).
• Завести таблицу формул с параметрами каждой функции и способом их нахождения по графику — использовать её при тренировках, пока не начнёт получаться автоматически.
• Обязательно проверять ответ подстановкой найденной формулы в исходные точки графика.
• Разбирать задания с двумя пересекающимися графиками отдельно — уделять внимание корректной записи уравнения на пересечение.
• Перед экзаменом решить пробный вариант именно этого номера из разных источников, чтобы привыкнуть к разным формулировкам и типам рисунков.