Задание 11 ЕГЭ: тригонометрические функции на графике f(x)=a·cos x+b

О чём эта подтема

В задании 11 профильного ЕГЭ по математике часто встречается график тригонометрической функции вида $f(x)=a\cos x+b$ или $f(x)=a\sin x+b$. По рисунку нужно определить один или несколько числовых параметров — обычно $a$ и $b$. Задание проверяет не умение строить график с нуля, а умение читать уже готовый график: находить по нему характерные точки (максимум, минимум, значения в нулях аргумента) и переводить эти данные в систему уравнений.

Эта подтема выгодна тем, что решается по чёткому алгоритму без творчества: есть базовая функция ($\sin x$ или $\cos x$), которую растягивают по вертикали и сдвигают вверх-вниз. Задача — распознать эти два преобразования на графике и составить уравнения. Балл за это задание получить довольно легко, если помнить свойства косинуса и синуса и не путать знаки.

Что нужно знать

Базовые функции. У косинуса и синуса одинаковая область значений: $$-1\le \cos x\le 1,\qquad -1\le\sin x\le 1.$$ Обе функции периодические с периодом $2\pi$. Косинус — чётная функция, его график симметричен относительно оси $Oy$. Синус — нечётный, его график симметричен относительно начала координат.

Характерные значения косинуса: $$\cos 0=1,\quad \cos\frac{\pi}{2}=0,\quad \cos\pi=-1,\quad \cos\frac{3\pi}{2}=0,\quad \cos2\pi=1.$$ Характерные значения синуса: $$\sin 0=0,\quad \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \sin\pi=0,\quad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,\quad \sin2\pi=0.$$

Линейное преобразование графика. Если взять функцию $f(x)=a\cos x+b$, то:

• число $a$ отвечает за растяжение (или сжатие) графика по вертикали в $|a|$ раз — это амплитуда колебаний;
• знак $a$ определяет, «перевёрнут» ли график: при $a>0$ форма такая же, как у обычного косинуса (максимум там же, где у $\cos x$), при $a<0$ график зеркально отражён по вертикали (там, где у косинуса максимум, у функции будет минимум);
• число $b$ отвечает за сдвиг всего графика вверх (если $b>0$) или вниз (если $b<0$) — это смещение средней линии графика.

Область значений функции $f(x)=a\cos x+b$ при $a>0$: $$b-a\le f(x)\le b+a,$$ то есть максимум функции равен $a+b$, минимум равен $b-a$. При $a<0$ максимум и минимум меняются местами по формулам, но по модулю расстояние от $b$ до границ всё равно равно $|a|$.

Отсюда следует полезная связь: если максимум графика равен $M$, а минимум равен $m$, то $$b=\frac{M+m}{2},\qquad |a|=\frac{M-m}{2}.$$ Это удобно использовать как проверку, но знак $a$ по этим формулам не определить — его нужно смотреть по расположению максимума и минимума относительно точек, где базовая функция равна $1$ или $-1$.

Для решения задачи достаточно уметь:

1. находить на графике координаты точек максимума и минимума (обычно они хорошо видны — горизонтальные «верхушки» и «впадины» волны);
2. подставлять в формулу $f(x)=a\cos x+b$ (или с синусом) конкретное значение $x$ из этих точек и записывать уравнение;
3. решать полученную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить, какая базовая функция используется — синус или косинус. Это обычно указано в самой формуле в условии задачи, поэтому достаточно просто её увидеть.

Шаг 2. Найти на графике точку, где функция достигает максимума, и точку, где она достигает минимума. Как правило, это самые верхние и самые нижние горизонтальные участки волны — их легко считать по клеткам координатной сетки.

Шаг 3. Определить абсциссу (значение $x$) этих точек. Для стандартного графика косинуса удобны точки $x=0$ и $x=\pi$, для синуса — $x=\dfrac{\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{\pi}{2}$ (или $x=\dfrac{3\pi}{2}$). Если на графике сетка отмечена в единицах $\pi$, эти точки будут точно попадать на линии сетки.

Шаг 4. Подставить эти значения $x$ в общую формулу функции и вычислить, чему равен косинус или синус в данной точке (обычно это $1$, $-1$ или $0$). Получаются два линейных уравнения относительно $a$ и $b$.

Шаг 5. Решить систему уравнений. Так как в оба уравнения входят одни и те же $a$ и $b$, а коэффициенты при $a$ отличаются только знаком, систему удобно решать методом сложения — складывая или вычитая уравнения, чтобы одна из переменных исчезла.

Шаг 6. Проверить полученные значения: подставить их обратно в формулу и убедиться, что максимум и минимум совпадают с тем, что видно на графике.

Шаг 7. Если нужен только один из параметров ($a$ или $b$), выписать именно требуемое значение — в бланк ответа не переносить дополнительные данные.

Разбор примера

Условие обоих примеров: на рисунке изображён график функции $f(x)=a\cos x+b$. В примере 1 нужно найти $a$, в примере 2 — найти $b$. По графику видно, что верхняя горизонтальная часть волны (максимум функции) проходит на уровне $y=0{,}5$, а нижняя часть (минимум функции) — на уровне $y=-2{,}5$. При этом максимум достигается при $x=0$, а минимум — при $x=\pi$, то есть график ведёт себя так же, как обычная косинусоида, только растянутая и смещённая.

Шаг 1. Записываем значение функции в точке максимума. Так как $\cos 0=1$: $$f(0)=a\cdot 1+b=a+b.$$ По графику $f(0)=0{,}5$, значит: $$a+b=0{,}5. \quad (1)$$

Шаг 2. Записываем значение функции в точке минимума. Так как $\cos\pi=-1$: $$f(\pi)=a\cdot(-1)+b=-a+b.$$ По графику $f(\pi)=-2{,}5$, значит: $$-a+b=-2{,}5. \quad (2)$$

Шаг 3. Решаем систему уравнений (1) и (2). Сложим оба уравнения — так неизвестное $a$ уничтожится: $$(a+b)+(-a+b)=0{,}5+(-2{,}5),$$ $$2b=-2,$$ $$b=-1.$$

Шаг 4. Подставляем найденное значение $b=-1$ в уравнение (1): $$a+(-1)=0{,}5,$$ $$a=0{,}5+1=1{,}5.$$

Шаг 5. Проверка. При $a=1{,}5$ и $b=-1$ функция имеет вид $f(x)=1{,}5\cos x-1$. Максимум: $$1{,}5\cdot 1+(-1)=0{,}5,$$ минимум: $$1{,}5\cdot(-1)+(-1)=-2{,}5.$$ Оба значения совпадают с тем, что видно на графике, — решение верное.

Итак, ответ на пример 1: $a=1{,}5$. Ответ на пример 2 (это та же самая система уравнений, только спрашивается второй параметр): $b=-1$.

Обратите внимание, что оба вопроса решаются через одну и ту же систему из двух уравнений — не нужно решать задачу дважды с нуля. Достаточно один раз найти оба параметра, а затем выбрать тот, который требуется в конкретном вопросе. Также полезно заметить, что знак $a$ здесь положительный именно потому, что максимум графика приходится на $x=0$ — там, где у обычного косинуса максимум. Если бы, наоборот, при $x=0$ на графике был минимум, это означало бы, что $a<0$, и уравнения нужно было бы записывать иначе (с учётом того, что $\cos 0=1$ соответствует наименьшему значению функции).

Типичные ошибки

Первая ошибка — неверное определение знака $a$. Если на графике при $x=0$ находится минимум, а не максимум, а решающий по привычке считает, что $x=0$ всегда соответствует максимуму, получится неверный знак у параметра. Нужно каждый раз explicitно смотреть, какое значение принимает функция в конкретной точке графика, а не полагаться на шаблон.

Вторая ошибка — забывают учитывать вертикальный сдвиг $b$. Иногда путают амплитуду $a$ с самим максимальным значением функции, считая, что $a$ равно максимуму графика. Но максимум равен $a+b$, а не просто $a$ — сдвиг обязательно нужно вычесть.

Третья ошибка — неверное считывание координат по клетчатому графику. Если цена деления по осям не единица, а, например, $0{,5}$ или $\dfrac{\pi}{2}$, легко ошибиться при переносе координат точки в уравнение. Перед составлением уравнений стоит явно определить масштаб обеих осей.

Четвёртая ошибка — применение готовой формулы $a=\dfrac{M-m}{2}$ без проверки знака. Эта формула даёт только модуль $a$; чтобы получить знак, нужно смотреть, при каком значении аргумента достигается максимум — совпадает ли оно с точкой, где базовая функция равна $1$.

Пятая ошибка — путают синус и косинус, если график смещён по горизонтали не в стандартные точки $0$ и $\pi$, а, скажем, в $\dfrac{\pi}{2}$. В такой ситуации нужно аккуратно вычислить, чему равен синус или косинус именно в данной, а не в «привычной» точке.

Шестая ошибка — путают, какой параметр требуется в ответе. Так как задача часто идёт в двух вариантах (найти $a$ или найти $b$) по одному и тому же графику, при переносе решения в бланк легко перепутать, какое число куда писать.

На что обратить внимание на экзамене

При чтении графика первым делом определите масштаб по обеим осям — цену деления клетки. Ошибка в считывании масштаба сразу делает всё решение неверным, даже если алгоритм применён правильно.

Всегда выбирайте для составления уравнений точки, где базовая функция принимает «удобные» значения — $1$, $-1$ или $0$. Обычно это вершины и впадины волны либо точки пересечения со средней линией графика.

Проверяйте знак амплитуды $a$ по расположению максимума и минимума, а не по абсолютной величине разности. Быстрый способ проверки — подставить найденные $a$ и $b$ обратно в формулу и сверить получившиеся крайние значения функции с рисунком.

Если в задаче спрашивают только один параметр, не тратьте время на оформление ответа для второго — но найти оба параметра всё равно придётся, так как они входят в одну систему уравнений.

Задание оценивается в один балл, поэтому имеет смысл решать его быстро по стандартному алгоритму: выбрать точку максимума, точку минимума, записать два уравнения, сложить или вычесть их, найти оба параметра, сделать проверку. Это экономит время для более сложных заданий части 2.

Помните формулы значений тригонометрических функций в стандартных точках наизусть — это ускоряет составление уравнений и снижает риск арифметических ошибок при работе с графиком.