Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические функции

Шаг 1. Найдём коэффициент b.

Из графика видно, что функция проходит через точку $\left(-\frac{\pi}{2}; 1\right)$. Подставим эту точку в уравнение $f(x) = a\cos x + b$:

$$a\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + b = 1$$

Так как $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ (косинус чётная функция и обращается в ноль в этих точках), получаем: $$b = 1$$

Шаг 2. Найдём коэффициент a.

График проходит через точку $(0; 3)$. Подставим в функцию с известным $b = 1$:

$$a\cos 0 + 1 = 3$$

Поскольку $\cos 0 = 1$: $$a + 1 = 3 \implies a = 2$$

Шаг 3. Вычислим $y\left(\frac{13\pi}{3}\right)$.

Теперь функция имеет вид $y = 2\cos x + 1$. Нужно найти:

$$y\left(\frac{13\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right) + 1$$

Уменьшим аргумент на полные периоды косинуса (период равен $2\pi$):

$$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$$

Так как $\cos(x + 2\pi n) = \cos x$: $$\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Подставим: $$y\left(\frac{13\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$$