Гиперболы в задании 11 ЕГЭ: график функции $y=\dfrac{k}{x+a}$

О чём эта подтема

В задании 11 профильного ЕГЭ часто встречается график функции вида $f(x)=\dfrac{k}{x+a}$ — это гипербола, сдвинутая относительно осей координат. По рисунку нужно восстановить формулу функции (найти числа $k$ и $a$), а затем либо вычислить значение функции в заданной точке, либо решить уравнение $f(x)=c$ относительно $x$. Никакой производной или сложного анализа здесь не требуется — только аккуратное чтение графика и работа с дробно-рациональным выражением.

Задача всегда сводится к одному и тому же: по картинке определить асимптоты и одну «удобную» точку с целыми координатами, составить формулу и подставить нужное число.

Что нужно знать

Базовая гипербола. График функции $y=\dfrac{k}{x}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Если $k>0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях, если $k<0$ — во II и IV. Асимптоты — оси координат: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=0$.

Сдвинутая гипербола. Функция $f(x)=\dfrac{k}{x+a}$ — это график $y=\dfrac{k}{x}$, сдвинутый на $-a$ по горизонтали. Ключевые факты:

• Вертикальная асимптота: $x=-a$ (в этой точке знаменатель обращается в 0, функция не определена).
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (при $x\to\pm\infty$ дробь стремится к нулю).
• Область определения: $x\neq -a$.
• Область значений: $y\neq 0$.
• На каждой ветви функция монотонна: при $k>0$ убывает, при $k<0$ возрастает (на каждом из двух промежутков области определения отдельно).
• График симметричен относительно точки $(-a;0)$ — центра гиперболы.

Если встречается более общий вид $f(x)=\dfrac{k}{x+a}+b$, то вертикальная асимптота остаётся $x=-a$, а горизонтальная сдвигается до $y=b$. В задании 11 чаще всего встречается частный случай без слагаемого $b$, то есть с горизонтальной асимптотой $y=0$ — именно на нём стоит сосредоточиться.

Что нужно уметь считать. Всего два действия:

1. Найти $a$ по положению вертикальной асимптоты.
2. Найти $k$, подставив в формулу координаты одной точки графика: если точка $(x_0;y_0)$ лежит на графике, то $$y_0=\dfrac{k}{x_0+a}\quad\Rightarrow\quad k=y_0\cdot(x_0+a).$$

После этого функция полностью восстановлена, и любой вопрос — вычисление значения или решение уравнения — сводится к простой арифметике.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить вертикальную асимптоту. На графике вертикальная асимптота обычно показана пунктирной линией или видна по тому, что ветви графика уходят в бесконечность около некоторого значения $x$. Это значение равно $-a$, то есть если асимптота проходит через $x=x_1$, то $a=-x_1$.

Шаг 2. Найти удобную точку на графике. Нужно отыскать точку, где график проходит точно через узел сетки — то есть обе координаты целые (или простые дробные, например половина клетки). Такие точки специально закладываются в рисунок, чтобы задачу можно было решить точно.

Шаг 3. Вычислить $k$. Подставить найденные $x_0$, $y_0$ и $a$ в формулу $$k=y_0\cdot(x_0+a).$$

Шаг 4. Записать формулу функции. $$f(x)=\dfrac{k}{x+a}.$$

Шаг 5. Ответить на вопрос задачи.

• Если нужно найти $f(x_1)$ — просто подставить $x_1$ в формулу.
• Если нужно найти $x$, при котором $f(x)=c$ — решить уравнение $\dfrac{k}{x+a}=c$, откуда $x=\dfrac{k}{c}-a$.

Шаг 6. Проверка. Желательно подставить найденные $k$ и $a$ обратно в координаты исходной точки графика — если равенство верное, ошибок нет.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён график функции $f(x)=\dfrac{k}{x+a}$. Требуется найти $f(-12)$.

Предположим, что по графику видно:

• вертикальная асимптота проходит через $x=-8$, значит $a=8$;
• график проходит через узел сетки $(-9;3)$.

Шаг 3. Находим $k$: $$k=y_0\cdot(x_0+a)=3\cdot(-9+8)=3\cdot(-1)=-3.$$

Шаг 4. Формула функции: $$f(x)=\dfrac{-3}{x+8}.$$

Проверка по второй видимой точке $(-7;-3)$: $$f(-7)=\dfrac{-3}{-7+8}=\dfrac{-3}{1}=-3 \;\checkmark$$

Шаг 5. Вычисляем $f(-12)$: $$f(-12)=\dfrac{-3}{-12+8}=\dfrac{-3}{-4}=0{,}75.$$

Ответ: 0,75 — совпадает с ответом задачи.

Пример 2. На рисунке изображён график функции $f(x)=\dfrac{k}{x+a}$. Нужно найти, при каком $x$ значение функции равно $0{,}8$.

Предположим, что по графику видно:

• вертикальная асимптота при $x=-10$, значит $a=10$;
• график проходит через узел сетки $(-11;4)$.

Шаг 3. Находим $k$: $$k=y_0\cdot(x_0+a)=4\cdot(-11+10)=4\cdot(-1)=-4.$$

Шаг 4. Формула функции: $$f(x)=\dfrac{-4}{x+10}.$$

Шаг 5. Решаем уравнение $f(x)=0{,}8$: $$\dfrac{-4}{x+10}=0{,}8\;\Rightarrow\; x+10=\dfrac{-4}{0{,}8}=-5\;\Rightarrow\; x=-5-10=-15.$$

Ответ: -15 — совпадает с ответом задачи.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала асимптота даёт $a$, затем любая целочисленная точка даёт $k$, а дальше — простая подстановка или решение линейного уравнения.

Типичные ошибки

• Путаница со знаком $a$. В формуле стоит именно $x+a$, а не $x-a$. Ошибка в знаке при переносе значения асимптоты в формулу — самая частая причина неверного ответа.
• Неверное чтение асимптоты. Иногда путают, где проходит вертикальная асимптота, особенно если она не подписана явно, а видна только по поведению ветвей графика.
• Ошибка в выборе точки. Если взять точку «на глаз», не совпадающую точно с узлом сетки, значение $k$ получится неверным и все дальнейшие вычисления «поедут».
• Арифметика с отрицательными числами. При вычислении $k=y_0\cdot(x_0+a)$ и при решении уравнения легко ошибиться со знаком, особенно если и $x_0$, и $a$ отрицательные.
• Деление в другую сторону. При решении уравнения $\dfrac{k}{x+a}=c$ иногда по ошибке пишут $x+a=k\cdot c$ вместо $x+a=\dfrac{k}{c}$.
• Забывают про область определения. Если в ходе решения получается $x=-a$, это означает противоречие (функция не определена в этой точке) — нужно перепроверить вычисления, а не записывать такой ответ.
• Неверный формат ответа. ЕГЭ часто требует ответ в виде десятичной дроби (например, 0,75, а не 3/4) — стоит сразу переводить обыкновенные дроби в десятичные, если того требует бланк ответов.

На что обратить внимание на экзамене

• Внимательно смотрите на масштаб сетки: иногда одна клетка соответствует не единице, а, например, двум или половине единицы. Неверное прочтение масштаба искажает все дальнейшие вычисления.
• Ищите на графике сразу две подходящие точки с целыми координатами — это позволяет не только найти $k$, но и сразу проверить правильность вычислений, подставив вторую точку.
• Проверяйте знак $k$ по расположению ветвей относительно асимптот: если левая ветвь идёт вверх, а правая — вниз (или наоборот), это подсказывает знак дроби ещё до вычислений и помогает быстро заметить арифметическую ошибку.
• После нахождения формулы обязательно делайте итоговую проверку — подставьте обратно исходную точку графика, это занимает несколько секунд, но исключает большинство ошибок.
• Не путайте вопрос задачи: одни варианты просят вычислить $f(x_0)$, другие — найти $x$ по заданному значению функции. Внимательно читайте формулировку перед тем, как выбирать, что подставлять, а что находить.
• Держите в голове общий вид ответа: для гиперболы значения часто получаются в виде простых дробей (0,5; 0,75; 0,25 и т.п.), поэтому если в результате получилось «некрасивое» число вроде 0,73, это повод перепроверить вычисления.