Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Гиперболы

Преобразуем функцию $f(x) = \frac{kx + a}{x + b}$, выделив целую часть.

Запишем числитель через знаменатель: $kx + a = k(x + b) + (a - kb)$.

Подставим это в дробь: $$f(x) = \frac{k(x + b) + (a - kb)}{x + b} = \frac{k(x + b)}{x + b} + \frac{a - kb}{x + b} = k + \frac{a - kb}{x + b}$$

Полученное представление показывает, что график — это гипербола $y = \frac{c}{x + b}$ (где $c = a - kb$), сдвинутая так, что прямая $x = -b$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота функции такого вида определяется поведением при $x \to \pm\infty$. Дробь $\frac{a - kb}{x + b} \to 0$ при $x \to \pm\infty$, поэтому $f(x) \to k$.

Значит, горизонтальная асимптота — это прямая $y = k$.

Из графика видно, что горизонтальная асимптота имеет уравнение $y = 1$.

Следовательно, $k = 1$.