Задача 509001. Гиперболы

Преобразуем функцию, выделив целую часть. Представим числитель в виде: $kx + a = k(x + b) + (a - kb)$.

Тогда: $$f(x) = \frac{kx + a}{x + b} = \frac{k(x + b) + (a - kb)}{x + b} = k + \frac{a - kb}{x + b}$$

Это стандартная форма гиперболы с центром в точке $(-b, k)$.

Определяем k и b из асимптот:

Горизонтальная асимптота — это $y = k$. По графику она совпадает с $y = 1$, значит $k = 1$.

Вертикальная асимптота определяется условием $x + b = 0$, то есть $x = -b$. По графику вертикальная асимптота проходит через $x = -4$, значит $-b = -4$, откуда $b = 4$.

Находим a:

Подставляем найденные значения в преобразованную формулу: $$f(x) = 1 + \frac{a - 1 \cdot 4}{x + 4} = 1 + \frac{a - 4}{x + 4}$$

Используем точку, через которую проходит график. По рисунку видно, что $f(1) = 2$: $$1 + \frac{a - 4}{1 + 4} = 2$$ $$\frac{a - 4}{5} = 1$$ $$a - 4 = 5$$ $$a = 9$$