Задание 11 ЕГЭ: комбинированные задачи с графиками функций

О чём эта подтема

Комбинированные задачи задания 11 — это задачи, где на одном рисунке изображены сразу два (иногда три) графика функций разного вида: обычно прямая и парабола, реже прямая и гипербола, парабола и экспонента. Формулы функций даны не полностью — часть коэффициентов неизвестна ($a$, $b$, $c$ у квадратичной функции), а по рисунку нужно "считать" недостающие данные: координаты точек пересечения графиков, координаты вершины параболы, точки пересечения с осями.

Особенность таких задач в том, что они проверяют сразу несколько навыков: чтение графика, работу с системами уравнений, применение теоремы Виета и аккуратные вычисления. Итоговый вопрос обычно короткий — найти абсциссу или ординату конкретной точки, значение коэффициента или сумму/произведение параметров. Но чтобы дойти до ответа, нужно восстановить формулу функции целиком.

Важно понимать: рисунок в таких задачах — не иллюстрация, а источник данных. Без него задачу решить нельзя, но и полагаться только на "визуальную оценку" тоже нельзя — координаты нужно читать по узлам сетки (точкам с целыми координатами), а окончательный ответ получать алгебраически.

Что нужно знать

Для этой подтемы достаточно опираться на несколько базовых фактов.

Линейная функция. График $y = kx + b$ — прямая, $k$ — угловой коэффициент (наклон), $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$.

Квадратичная функция. График $y = ax^2 + bx + c$ — парабола. Её вершина имеет координаты $$x_0 = -\dfrac{b}{2a}, \qquad y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}.$$ Парабола симметрична относительно вертикальной прямой $x = x_0$. Если вершина лежит на оси $Oy$ (то есть $x_0 = 0$), то $b = 0$, а $y_0 = c$ — это значение функции в нуле.

Теорема Виета. Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$, $x_2$: $$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.$$ Это главный инструмент экономии времени: если один корень уравнения известен (считан с графика), второй находится без решения квадратного уравнения целиком.

Точки пересечения графиков. Если два графика заданы уравнениями $y = f(x)$ и $y = g(x)$, то в точках пересечения выполняется $f(x) = g(x)$. Решение этого уравнения даёт абсциссы всех общих точек.

Чтение графика. На экзаменационном рисунке обычно отмечена сетка с шагом 1. Координаты точек, лежащих на узлах сетки, читаются напрямую. Важно не путать масштаб по осям $Ox$ и $Oy$ — иногда он разный.

Больше специальных фактов не требуется — вся сложность в том, чтобы правильно организовать данные и не ошибиться в вычислениях.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения комбинированной задачи почти всегда одинаков.

Шаг 1. Понять, что задано, а что нужно найти. Определить, у каких функций неизвестны коэффициенты, и что именно спрашивает вопрос (абсцисса, ордината, значение параметра, площадь фигуры и т.д.).

Шаг 2. Выписать все данные с рисунка. Отметить координаты видимых характерных точек: пересечения с осями, вершину параболы, точки пересечения графиков, любые точки с целыми координатами, через которые явно проходит линия.

Шаг 3. Составить систему уравнений для неизвестных коэффициентов. Каждая точка, через которую проходит график, даёт одно уравнение. Для параболы с тремя неизвестными ($a$, $b$, $c$) нужно три условия — либо три точки, либо две точки и известная вершина (вершина сразу даёт связь между $a$ и $b$).

Шаг 4. Найти коэффициенты. Решить получившуюся систему — как правило, она простая (линейная по $a$, $b$, $c$).

Шаг 5. Приравнять функции. Составить уравнение $f(x) = g(x)$, чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков.

Шаг 6. Использовать известный корень и теорему Виета. Если одна точка пересечения (например, $A$) уже видна на рисунке, не нужно решать квадратное уравнение заново — достаточно применить формулы Виета, чтобы быстро найти вторую абсциссу.

Шаг 7. Найти ординату. Подставить найденную абсциссу в более простую из двух функций (обычно линейную) — так меньше риск арифметической ошибки.

Шаг 8. Проверить. Подставить полученные координаты в обе функции — значения должны совпадать. Это гарантирует, что точка действительно является точкой пересечения, а не посторонним корнем.

Разбор примера

Условие. На рисунке изображены графики функций $f(x) = 5x + 9$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Нужно найти абсциссу точки $B$ (пример 1) и её ординату (пример 2).

По рисунку читаем данные: вершина параболы находится в точке $(0; 3)$, то есть парабола пересекает ось $Oy$ в точке с ординатой $3$ и её вершина лежит именно на этой оси. Также видно, что парабола проходит через точку $(2; 7)$. Точка пересечения графиков $A$ имеет абсциссу $-1$.

Шаг 1–2. Неизвестны $a$, $b$, $c$ в формуле $g(x) = ax^2+bx+c$. Данные с графика: вершина в точке $(0;3)$ и точка $(2;7)$ на параболе.

Шаг 3. Так как вершина лежит на оси $Oy$, её абсцисса равна нулю: $$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.$$ Ордината вершины при $x=0$ равна $c$, значит $c = 3$.

Используем точку $(2;7)$: $$a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c = 7 \quad\Rightarrow\quad 4a + 0 + 3 = 7 \quad\Rightarrow\quad a = 1.$$

Шаг 4. Получили $g(x) = x^2 + 3$.

Шаг 5. Составляем уравнение пересечения: $$5x + 9 = x^2 + 3.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^2 - 5x - 6 = 0.$$

Шаг 6. По условию точка $A$ имеет абсциссу $-1$ — проверим: $(-1)^2 - 5\cdot(-1) - 6 = 1+5-6=0$ — верно, значит $x_A=-1$ действительно корень. По теореме Виета для уравнения $x^2 -5x-6=0$ сумма корней равна $5$: $$x_A + x_B = 5 \quad\Rightarrow\quad x_B = 5 - (-1) = 6.$$ Это и есть ответ к примеру 1: абсцисса точки $B$ равна $6$.

(Для проверки можно и разложить уравнение на множители: $x^2-5x-6=(x-6)(x+1)=0$, корни $x=6$ и $x=-1$ — совпадает.)

Шаг 7. Находим ординату точки $B$, подставляя $x=6$ в более простую линейную функцию: $$f(6) = 5\cdot 6 + 9 = 30+9 = 39.$$ Это ответ к примеру 2: ордината точки $B$ равна $39$.

Шаг 8. Проверка. Подставим $x=6$ во вторую функцию: $$g(6) = 6^2+3 = 36+3=39.$$ Значения совпали ($f(6)=g(6)=39$), значит точка $B(6;39)$ действительно лежит на пересечении графиков — коэффициенты найдены верно, ответы подтверждены.

Этот пример показывает главную идею комбинированных задач: сначала по картинке восстанавливаем формулу неизвестной функции, а затем чисто алгебраически находим нужную характеристику точки, используя теорему Виета для скорости.

Типичные ошибки

Неверное считывание координат. Самая частая ошибка — перепутать масштаб по осям или посчитать не то деление сетки. Перед тем как выписывать точку, стоит убедиться, что каждая клетка соответствует единице (иногда в задании это специально не так).

Путаница, какая точка — $A$, а какая — $B$. Если на рисунке две точки пересечения, важно определить по расположению (левее/правее, выше/ниже), какая из них требуется в вопросе, и не перепутать корни местами при использовании теоремы Виета.

Ошибки при переносе слагаemых. При составлении уравнения $f(x)=g(x)$ легко потерять знак при переносе членов в одну сторону — стоит делать это аккуратно, шаг за шагом.

Использование только одной точки для параболы. Иногда пытаются найти сразу три коэффициента $a,b,c$ по одной точке — это невозможно, нужно минимум три независимых условия (или два условия плюс информация о вершине/симметрии).

Отсутствие проверки. Без подстановки найденных координат в обе функции легко не заметить арифметическую ошибку — вычисления в таких задачах не длинные, проверка занимает секунды, но экономит баллы.

Ответ не на тот вопрос. Внимательно читайте, что именно спрашивается — абсцисса или ордината, значение $a$ или $a+b+c$. Иногда после верных вычислений записывают не то число просто по невнимательности.

Игнорирование теоремы Виета. Решение полного квадратного уравнения вместо использования суммы/произведения корней отнимает время, а на экзамене оно ограничено — стоит вырабатывать привычку сразу проверять, не известен ли уже один из корней.

На что обратить внимание на экзамене

При работе с рисунком в первую очередь определите шаг сетки по обеим осям — от этого зависит правильность всех дальнейших вычислений. Отмечайте на черновике все точки, которые удаётся прочитать: пересечения с осями, вершину параболы, точки пересечения графиков — так меньше риск упустить нужное условие.

При составлении системы уравнений для коэффициентов старайтесь использовать самые "удобные" точки — например, точку с абсциссой $0$, которая сразу даёт значение $c$ (для параболы $y=ax^2+bx+c$, $g(0)=c$), или вершину, которая связывает $a$ и $b$ через формулу $x_0=-b/(2a)$.

После составления уравнения $f(x)=g(x)$ обязательно проверяйте, что известная точка (например, $A$) действительно является его корнем — если нет, значит где-то допущена ошибка в восстановлении коэффициентов, и нужно вернуться на шаг назад.

Активно применяйте теорему Виета: она не только экономит время, но и снижает риск ошибки при разложении квадратного трёхчлена на множители. Если хотя бы один корень уравнения известен, второй находится за одну строчку.

Вычисляя ординату искомой точки, подставляйте абсциссу в более простую функцию (как правило, линейную) — меньше действий, меньше шанс ошибиться.

Заканчивайте решение проверкой: подставьте найденные координаты в обе исходные функции и убедитесь, что значения совпадают. Такая проверка занимает немного времени, но полностью исключает ошибку в ответе.

Наконец, перечитайте вопрос перед тем, как записать финальный ответ — задание может требовать абсциссу, ординату, сумму координат или значение конкретного коэффициента, и эти формулировки легко перепутать при беглом чтении.