Задача 509167. Комбинированные задачи

Шаг 1. Определяем коэффициент k гиперболы.

Из графика видно, что гипербола проходит через точку (2; 1). Подставляем в формулу $f(x) = \frac{k}{x}$:

$$\frac{k}{2} = 1 \Rightarrow k = 2$$

Итак, $f(x) = \frac{2}{x}$.

Шаг 2. Определяем коэффициенты a и b линейной функции.

Коэффициент $a$ — это тангенс угла наклона прямой. По графику видно, что при смещении на 1 единицу вправо прямая поднимается на 5 единиц, следовательно:

$$a = 5$$

Так как прямая проходит через точку (2; 1), подставляем $x = 2$ и $y = 1$:

$$5 \cdot 2 + b = 1 \Rightarrow 10 + b = 1 \Rightarrow b = -9$$

Итак, $g(x) = 5x - 9$.

Шаг 3. Находим абсциссы точек пересечения.

Приравниваем функции:

$$\frac{2}{x} = 5x - 9$$

Умножаем обе части на $x$:

$$2 = 5x^2 - 9x$$

$$5x^2 - 9x - 2 = 0$$

По формуле квадратного уравнения:

$$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10} = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{10} = \frac{9 \pm 11}{10}$$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{20}{10} = 2$ и $x_2 = \frac{-2}{10} = -0,2$.

Шаг 4. Определяем точку B.

Точка A — это пересечение в точке (2; 1), видимое на графике. Точка B — второе пересечение, с абсциссой $x = -0,2$.