Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Комбинированные задачи

Шаг 1. Найдём коэффициент k в формуле гиперболы.

Из графика видно, что гипербола проходит через точку (2; 1). Подставим в формулу $f(x) = \frac{k}{x}$:

$$f(2) = \frac{k}{2} = 1 \implies k = 2$$

Таким образом, $f(x) = \frac{2}{x}$.

Шаг 2. Найдём коэффициенты прямой.

Угловой коэффициент $a$ равен тангенсу угла наклона. По графику видно, что при движении на 1 единицу вправо прямая поднимается на 5 единиц вверх:

$$a = 5$$

Так как прямая проходит через точку (2; 1), подставим в уравнение $g(x) = ax + b$:

$$5 \cdot 2 + b = 1 \implies b = -9$$

Получаем: $g(x) = 5x - 9$.

Шаг 3. Найдём абсциссы точек пересечения.

Приравняем функции:

$$\frac{2}{x} = 5x - 9$$

Умножим обе части на $x$ (где $x \neq 0$):

$$2 = 5x^2 - 9x$$ $$5x^2 - 9x - 2 = 0$$

По формуле дискриминанта:

$$D = 81 + 40 = 121, \quad \sqrt{D} = 11$$

$$x = \frac{9 \pm 11}{10}$$

Получаем $x = 2$ или $x = -0{,}2$.

Точка A имеет абсциссу 2, точка B — абсциссу $-0{,}2$.

Шаг 4. Найдём ординату точки B.

$$g(-0{,}2) = 5 \cdot (-0{,}2) - 9 = -1 - 9 = -10$$