Задание 11 ЕГЭ: подтема «Корни» — функция $f(x)=k\sqrt{x}$

О чём эта подтема

В задании 11 профильного ЕГЭ часто встречаются графики функций вида $f(x)=k\sqrt{x}$ — растянутая или сжатая по вертикали ветвь параболы, повернутая на бок. По рисунку нужно либо вычислить значение функции в заданной точке, либо, наоборот, найти аргумент, при котором функция принимает заданное значение. Задача сводится к тому, чтобы по графику восстановить неизвестный коэффициент $k$, а затем аккуратно подставить числа в формулу.

Эта подтема считается одной из самых предсказуемых в 11-м задании: структура условия почти всегда одинакова, меняются только числа. Если один раз разобраться с алгоритмом, дальнейшие варианты решаются за пару минут.

Что нужно знать

1. Свойства базовой функции $y=\sqrt{x}$. Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$. Функция монотонно возрастает, график выходит из начала координат и по форме напоминает половину параболы, «лежащую на боку».

2. Семейство функций $y=k\sqrt{x}$. Коэффициент $k$ отвечает за вертикальное растяжение или сжатие графика:

• при $k>1$ график «поднимается» быстрее, чем $y=\sqrt{x}$;
• при $0<k<1$ график более пологий;
• при $k<0$ график отражается вниз (в область $y\le 0$).

3. Как связаны координаты точки графика и коэффициент. Если график проходит через точку $(x_0; y_0)$, то $$y_0 = k\sqrt{x_0} \quad\Rightarrow\quad k = \dfrac{y_0}{\sqrt{x_0}}.$$ Отсюда следует главное практическое правило: на графике нужно искать точку, у которой $x_0$ — точный квадрат (1, 4, 9, 16, 25, ...). Тогда $\sqrt{x_0}$ будет целым числом, и коэффициент $k$ вычисляется без калькулятора и без приближений.

4. Обратная задача — нахождение $x$ по значению функции. Если известно $f(x)=y$, то из уравнения $k\sqrt{x}=y$ выражаем $$\sqrt{x} = \dfrac{y}{k}, \qquad x = \left(\dfrac{y}{k}\right)^2.$$ При этом обязательно проверяем, что $y$ и $k$ имеют один знак (иначе уравнение не имеет решений в области определения) и что найденный $x \ge 0$.

5. Работа с десятичными числами. В таких заданиях часто встречаются «неудобные» на вид числа — 6,76 или 1,96. Обычно это точные квадраты десятичных дробей: $2{,}6^2=6{,}76$, $1{,}4^2=1{,}96$. Полезно уметь быстро проверять такие совпадения, чтобы не тратить время на длинные вычисления в столбик.

Больше для этой подтемы, по сути, знать не нужно: никаких других свойств корня (кроме области определения и монотонности) в задании 11 не проверяют.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач с функцией $f(x)=k\sqrt{x}$ всегда одинаковый.

Шаг 1. Определить вид функции по условию. В условии обычно прямо написано, что $f(x)=k\sqrt{x}$. Значит, единственный неизвестный параметр — это $k$, и его нужно найти по графику.

Шаг 2. Найти на графике «удобную» точку. Смотрим на рисунок и ищем точку, где по горизонтали отложено значение $x_0$, являющееся точным квадратом (1, 4, 9, 16, 25...). Такая точка обычно отмечена засечкой или явно попадает на линии сетки.

Шаг 3. Вычислить коэффициент $k$. Подставляем координаты найденной точки в формулу $$k = \dfrac{y_0}{\sqrt{x_0}}.$$

Шаг 4. Записать конкретную формулу функции. Подставляем найденное $k$ в $f(x)=k\sqrt{x}$ — теперь функция известна полностью.

Шаг 5. Ответить на вопрос задачи.

• Если нужно найти $f(a)$ — просто подставляем число $a$ под корень и умножаем на $k$.
• Если нужно найти $x$ при известном $f(x)=b$ — решаем уравнение $k\sqrt{x}=b$, возводя обе части в квадрат.

Шаг 6. Проверить ответ. Подставляем найденное значение обратно в исходную формулу и убеждаемся, что равенство выполняется, а $x$ входит в область определения ($x\ge 0$).

Этот алгоритм универсален: неважно, какие конкретно числа встретятся в варианте — порядок действий не меняется.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}$. Найдите $f(6{,}76)$.

Решение.

Шаг 1. По условию функция имеет вид $f(x)=k\sqrt{x}$, коэффициент $k$ неизвестен и должен быть найден по графику.

Шаг 2. На графике отмечена точка с координатами $(4; 5)$ — то есть при $x_0=4$ (это точный квадрат: $\sqrt{4}=2$) значение функции равно $y_0=5$.

Шаг 3. Находим коэффициент: $$k = \dfrac{y_0}{\sqrt{x_0}} = \dfrac{5}{\sqrt{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5.$$

Шаг 4. Теперь функция полностью известна: $$f(x) = 2{,}5\sqrt{x}.$$

Шаг 5. Вычисляем $f(6{,}76)$. Заметим, что $6{,}76 = 2{,}6^2$, поэтому $$\sqrt{6{,}76} = 2{,}6.$$ Тогда $$f(6{,}76) = 2{,}5 \cdot 2{,}6 = 6{,}5.$$

Шаг 6. Проверка: $6{,}5 = 2{,}5 \cdot \sqrt{6{,}76}$ — равенство верно, ответ находится в области определения ($6{,}76>0$).

Ответ: $6{,}5$.

Пример 2. На рисунке изображён график той же функции $f(x)=k\sqrt{x}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=3{,}5$.

Решение.

Шаги 1–4 совпадают с предыдущим примером: по графику снова получаем точку $(4;5)$, откуда $k=2{,}5$, и функция имеет вид $f(x)=2{,}5\sqrt{x}$.

Шаг 5. Теперь решаем уравнение относительно $x$: $$2{,}5\sqrt{x} = 3{,}5.$$ Выражаем корень: $$\sqrt{x} = \dfrac{3{,}5}{2{,}5} = 1{,}4.$$ Возводим обе части в квадрат: $$x = 1{,}4^2 = 1{,}96.$$

Шаг 6. Проверка: подставим $x=1{,}96$ в исходную функцию: $$f(1{,}96) = 2{,}5 \cdot \sqrt{1{,}96} = 2{,}5 \cdot 1{,}4 = 3{,}5.$$ Равенство выполняется, $x=1{,}96 \ge 0$, значит ответ подходит по области определения.

Ответ: $1{,}96$.

Оба примера показывают типичную схему: один и тот же график и одна и та же найденная точка $(4;5)$ используются для решения разных вопросов — вычисления значения функции и обратной задачи нахождения аргумента. Это стандартный приём составителей: коэффициент находится один раз, а дальше варьируется формулировка вопроса.

Типичные ошибки

1. Снятие координат «неудобной» точки. Если выбрать на графике точку, где $x_0$ не является точным квадратом (например, $x_0=3$), придётся работать с иррациональным числом $\sqrt{3}$, что усложняет и удлиняет решение. Нужно всегда искать точку с «хорошим» $x$.

2. Ошибки при возведении в квадрат. При решении уравнения $k\sqrt{x}=y$ школьники иногда забывают возвести в квадрат обе части целиком, либо путают порядок действий и сначала делят, потом забывают квадрат, либо наоборот.

3. Игнорирование области определения. После нахождения $x$ нужно убедиться, что $x\ge 0$. Если в результате вычислений получилось отрицательное число — где-то допущена ошибка в знаках или в исходных данных.

4. Путаница со знаком коэффициента $k$. Если график расположен ниже оси $Ox$ (в четвёртой четверти для $x>0$), то $k<0$. Забывание минуса при вычислении $k$ приводит к неверному ответу.

5. Арифметические ошибки с десятичными дробями. Числа вида $6{,}76$ или $1{,}96$ специально подобраны как квадраты десятичных дробей ($2{,}6^2$ и $1{,}4^2$ соответственно). Если не заметить эту закономерность и пытаться извлекать корень «в лоб» или на глаз, легко ошибиться. Полезно проверять: не является ли число под корнем квадратом простой десятичной дроби (0,1; 0,2; ...; 1,1; 1,2; ... до 5–6).

6. Неправильное считывание графика. Иногда путают, какая ось соответствует аргументу, а какая — значению функции, особенно если на рисунке нестандартный масштаб клетки (например, клетка равна не 1, а 0,5 или 2 единицам).

На что обратить внимание на экзамене

• Первым делом определите масштаб осей на графике: сколько единиц приходится на одну клетку. Ошибка в масштабе сразу же испортит весь дальнейший расчёт.
• Ищите на графике точку, где абсцисса — точный квадрат (1, 4, 9, 16, 25...). Это резко упрощает вычисление коэффициента $k$ и экономит время.
• Держите в голове таблицу квадратов простых десятичных дробей: $1{,}1^2=1{,}21$, $1{,}2^2=1{,}44$, $1{,}3^2=1{,}69$, $1{,}4^2=1{,}96$, $1{,}5^2=2{,}25$, $2{,}1^2=4{,}41$, $2{,}2^2=4{,}84$, $2{,}3^2=5{,}29$, $2{,}4^2=5{,}76$, $2{,}5^2=6{,}25$, $2{,}6^2=6{,}76$. Числа в условии почти всегда — именно такие квадраты, и умение мгновенно их узнавать сильно ускоряет решение.
• После нахождения ответа обязательно делайте обратную подстановку в формулу функции — это самый надёжный способ проверки за отведённое время.
• Не забывайте про область определения: ответ $x$ должен быть неотрицательным, иначе задача решена неверно.
• Если в одном варианте встречаются два задания на один и тот же график (как в примерах выше), не пересчитывайте коэффициент $k$ заново — используйте уже найденное значение, чтобы сэкономить время.
• Работайте с обыкновенными или десятичными дробями точно, избегая округлений на промежуточных шагах — в этом задании ответ почти всегда получается «красивым» числом, и если у вас вышло что-то громоздкое, скорее всего, где-то допущена ошибка.