Параболы в задании 11 ЕГЭ: как находить коэффициенты по графику

О чём эта подтема

В задании 11 часто встречается такая ситуация: на рисунке изображена парабола — график квадратичной функции вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, причём один или два коэффициента уже даны в условии, а один-два неизвестны. Задача — по графику определить координаты нескольких точек, составить систему уравнений, найти недостающие коэффициенты и вычислить значение функции в заданной точке.

Это задание не требует знания сложной теории парабол (вершина, дискриминант, ось симметрии здесь почти не нужны напрямую) — оно проверяет умение читать график, снимать с него координаты целых точек и аккуратно решать линейную систему уравнений. Именно поэтому такие задачи считаются одними из самых «технических» и предсказуемых в первой части экзамена — если отработать алгоритм, ошибок почти не остаётся.

Что нужно знать

Для решения этой подтемы достаточно нескольких фактов.

1. Общий вид квадратичной функции. $$f(x) = ax^2 + bx + c,$$ где $a \neq 0$. График такой функции — парабола. Если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз. Это помогает проверять правдоподобность найденных коэффициентов по внешнему виду графика.

2. Парабола однозначно задаётся тремя точками. Если известны три точки графика (или две точки, если один коэффициент уже дан в условии), можно составить систему уравнений и найти все неизвестные коэффициенты.

3. Подстановка точки в формулу функции. Если график проходит через точку $(x_0, y_0)$, значит выполняется равенство $$f(x_0) = a x_0^2 + b x_0 + c = y_0.$$ Это ключевой факт, на котором строится весь метод: каждая точка графика даёт одно линейное уравнение относительно неизвестных коэффициентов.

4. Умение читать график. Нужно уметь по клеткам координатной сетки определить, через какие точки с целыми координатами проходит парабола. Обычно на рисунке специально отмечены (или легко считываются) 2–3 «удобные» точки — как правило, там, где кривая пересекает линии сетки.

5. Решение системы линейных уравнений. В зависимости от того, сколько коэффициентов неизвестно, получится система из одного, двух или трёх линейных уравнений. Чаще всего в задании 11 неизвестны именно два коэффициента (например, $b$ и $c$, или $a$ и $c$), значит система будет состоять из двух уравнений с двумя неизвестными — её удобно решать методом вычитания уравнений друг из друга.

6. Вычисление значения функции в точке. После того как найдена полная формула функции, остаётся просто подставить нужное значение аргумента и посчитать число — это финальный, самый простой шаг.

Отдельно стоит отметить: формулы вершины параболы $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ и дискриминанта здесь обычно не нужны, так как в задании 11 требуется не исследовать параболу, а восстановить её уравнение по точкам и посчитать конкретное значение.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения таких задач всегда одинаковый и состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Определить, сколько коэффициентов неизвестно. Внимательно посмотрите на формулу функции в условии. Обычно один коэффициент уже указан числом (например, $a = 2$ или коэффициент при $x$ равен $-4$), а два других — буквы, которые нужно найти. Значит, понадобится система из двух уравнений.

Шаг 2. Считать координаты точек с графика. Найдите на рисунке две точки, через которые парабола проходит и координаты которых легко определить (обычно это точки пересечения кривой с линиями сетки, где и абсцисса, и ордината — целые числа). Обозначьте их как $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.

Шаг 3. Составить и решить систему уравнений. Подставьте координаты каждой точки в формулу функции — получите два уравнения с двумя неизвестными коэффициентами. Удобнее всего решать такую систему методом вычитания: преобразуйте оба уравнения к одинаковому виду (например, соберите слагаемые с неизвестными коэффициентами в левой части), а затем вычтите одно уравнение из другого, чтобы избавиться от одной из переменных.

Шаг 4. Восстановить формулу функции и вычислить нужное значение. Подставьте найденные коэффициенты в исходную формулу, чтобы получить полное выражение для $f(x)$. Затем подставьте в него то значение аргумента, которое требуется найти по условию, и вычислите ответ.

Важный практический совет: перед вычислением финального значения полезно мысленно проверить полученную функцию на одной из исходных точек (не той, что использовалась для проверки — если точек было ровно две, можно проверить любую из них повторно, аккуратно пересчитав). Это позволяет отловить арифметическую ошибку до того, как она попадёт в ответ.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: на рисунке изображён график функции $f(x) = 2x^2 + bx + c$. Найдите $f(-5)$.

Здесь коэффициент $a = 2$ уже известен, а неизвестны $b$ и $c$ — значит, нужно две точки графика.

Шаг 1. С графика считываем координаты двух точек: $f(-2) = -2$ и $f(1) = 1$.

Шаг 2. Подставляем координаты первой точки $(-2, -2)$ в формулу: $$2 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = -2$$ $$8 - 2b + c = -2$$ $$-2b + c = -10 \quad (1)$$

Подставляем координаты второй точки $(1, 1)$: $$2 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1$$ $$2 + b + c = 1$$ $$b + c = -1 \quad (2)$$

Шаг 3. Решаем систему $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$ Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1): $$(-2b + c) - (b + c) = -10 - (-1)$$ $$-3b = -9 \Rightarrow b = 3$$

Подставляем $b = 3$ в уравнение (2): $$3 + c = -1 \Rightarrow c = -4$$

Шаг 4. Полная функция: $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$. Вычисляем требуемое значение: $$f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 4 = 2 \cdot 25 - 15 - 4 = 50 - 15 - 4 = 31$$

Ответ: $31$.

Пример 2.

Условие: на рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 - 4x + c$. Найдите $f(-3)$.

Здесь известен коэффициент при $x$ (он равен $-4$), а неизвестны $a$ и $c$.

Шаг 1. С графика считываем две точки: $f(1) = -6$ и $f(3) = 2$.

Шаг 2. Подставляем точку $(1, -6)$: $$a \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + c = -6$$ $$a + c = -2 \quad (1)$$

Подставляем точку $(3, 2)$: $$a \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 + c = 2$$ $$9a - 12 + c = 2$$ $$9a + c = 14 \quad (2)$$

Шаг 3. Вычитаем уравнение (1) из уравнения (2): $$(9a + c) - (a + c) = 14 - (-2)$$ $$8a = 16 \Rightarrow a = 2$$

Из уравнения (1): $2 + c = -2 \Rightarrow c = -4$.

Шаг 4. Полная функция: $f(x) = 2x^2 - 4x - 4$. Вычисляем: $$f(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - 4 \cdot (-3) - 4 = 2 \cdot 9 + 12 - 4 = 18 + 12 - 4 = 26$$

Ответ: $26$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: считать две точки, составить систему, найти коэффициенты, подставить итоговое значение аргумента.

Типичные ошибки

Неверное считывание координат с графика. Самая частая причина неверного ответа — ошибка при определении точки на рисунке: перепутаны знаки координат, либо точка выбрана неточно (не там, где кривая реально пересекает линию сетки). Перед составлением уравнений стоит ещё раз внимательно проверить обе координаты каждой выбранной точки.

Ошибки при подстановке в квадратичное выражение. Часто теряется знак при возведении отрицательного числа в квадрат или неправильно раскрываются скобки. Полезно всегда сначала вычислять $x_0^2$ отдельно, а затем подставлять в остальное выражение.

Путаница при решении системы уравнений. Иногда при вычитании одного уравнения из другого неправильно переносятся знаки, из-за чего теряется правильный ответ для одного из коэффициентов. Рекомендуется каждый раз явно записывать оба уравнения в одинаковом виде (все неизвестные слева, число справа) перед вычитанием.

Забытая подстановка найденных коэффициентов обратно. Иногда коэффициенты $b$ и $c$ находят верно, но при финальном вычислении $f(x_0)$ по невнимательности берут не то значение или забывают один из коэффициентов — например, теряют свободный член $c$.

Неправильный выбор точек для составления уравнений. Если выбрать точки, координаты которых на графике определяются неоднозначно (например, кривая проходит между линиями сетки), система получится неверной. Нужно выбирать только те точки, где обе координаты — целые числа, чётко видимые на клетчатом фоне.

Ошибка при финальной арифметике. Даже если вся система решена верно, при подсчёте итогового значения функции в точке легко ошибиться в знаках при возведении в квадрат отрицательного числа или при сложении нескольких слагаемых с разными знаками. Стоит выполнять вычисления по частям, а не в одну строку.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания на параболу на экзамене стоит придерживаться нескольких практических правил.

Во-первых, сразу определяйте, какие коэффициенты уже даны в условии, а какие нужно найти — это подскажет, сколько точек с графика потребуется считать и сколько уравнений составлять.

Во-вторых, выбирайте для считывания координат точки, которые расположены точно на пересечениях линий координатной сетки — там, где значения обеих координат наверняка целые. Не пытайтесь угадывать координаты «на глаз» по нецелым делениям.

В-третьих, записывайте систему уравнений аккуратно, в стандартном виде: все слагаемые с неизвестными коэффициентами — в левой части, число — в правой. Это минимизирует ошибки при последующем вычитании уравнений.

В-четвёртых, после нахождения коэффициентов полезно за несколько секунд проверить их на здравый смысл: если, например, коэффициент $a$ получился отрицательным, а по графику ветви параболы явно направлены вверх — где-то допущена ошибка, и стоит пересчитать.

Наконец, не забывайте про последний шаг — сам вопрос задания. Нередко ошибку допускают не в системе уравнений, а именно на этапе финального вычисления, подставляя в уже найденную функцию не то число или забывая один из слагаемых. Выполняйте этот шаг так же внимательно, как и составление системы, — именно он определяет итоговый числовой ответ.