Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Параболы

Шаг 1. Определяем, какой график какой.

Проверим, где функция $f(x) = 4x^2 - 25x + 41$ пересекает ось ординат: $f(0) = 41$. На рисунке синий график проходит через $(0; 41)$, значит, это $f(x)$. Оранжевый график — это $g(x) = ax^2 + bx + c$.

Шаг 2. Найдём коэффициенты функции $g(x)$ по рисунку.

С рисунка снимаем три точки оранжевого графика:

• $g(-3) = 2$
• $g(-1) = -2$
• $g(2) = 7$

Шаг 3. Составляем систему для коэффициентов.

Используем формулу разности значений квадратичной функции: $$g(-3) - g(-1) = a((-3)^2 - (-1)^2) + b(-3 - (-1)) = 8a - 2b = 2 - (-2) = 4$$

$$g(-1) - g(2) = a(1 - 4) + b(-1 - 2) = -3a - 3b = -2 - 7 = -9$$

Из первого уравнения: $8a - 2b = 4 \Rightarrow 4a - b = 2$.

Из второго: $-3a - 3b = -9 \Rightarrow a + b = 3$.

Складываем: $5a = 5 \Rightarrow a = 1$, тогда $b = 2$.

Из $g(2) = 7$: $1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + c = 7 \Rightarrow c = -1$.

Следовательно, $g(x) = x^2 + 2x - 1$.

Шаг 4. Найдём точки пересечения.

Приравниваем функции: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$

По формуле корней: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$$

Получаем $x = 7$ или $x = 2$.

Так как точка B находится правее точки A на графике, $x_B = 7$.