Задача 508935. Параболы

Определим коэффициенты параболы $f(x) = ax^2 + bx + c$ по графику.

Способ 1 (через вершину):

Из рисунка видно, что парабола имеет вершину в точке $(-3; -5)$. Форма параболы соответствует $y = x^2$ (коэффициент $a = 1$), поэтому функция имеет вид:

$$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Это означает парабола $y = x^2$ сдвинута влево на 3 единицы и вниз на 5 единиц.

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9 + 3)^2 - 5 = (-6)^2 - 5 = 36 - 5 = 31$$

Способ 2 (через систему уравнений):

По графику читаем три точки: $f(-5) = -1$, $f(-3) = -5$, $f(-2) = -4$.

Составляем систему из разностей значений функции:

• $f(-5) - f(-3) = -1 - (-5) = 4$
• $a(25 - 9) + b(-5 + 3) = 4$
• $16a - 2b = 4$

И вторая разность:

• $f(-3) - f(-2) = -5 - (-4) = -1$
• $a(9 - 4) + b(-3 + 2) = -1$
• $5a - b = -1$

Из второго уравнения: $b = 5a + 1$. Подставляем в первое: $$16a - 2(5a + 1) = 4$$ $$16a - 10a - 2 = 4$$ $$6a = 6 \Rightarrow a = 1$$

Тогда $b = 6$. Подставляя в исходное уравнение $-1 = a + b(-5) + c$, найдём $c = 4$.

Вычисляем: $$f(-9) = 81 - 54 + 4 = 31$$